Apsvarstykite kvadratinę lygtį.

Nustatykime jo šaknis.

Nėra tikrojo skaičiaus, kurio kvadratas būtų -1. Bet jei operatorių apibrėžtume formule , A kaip įsivaizduojamą vienetą, tada šios lygties sprendimas gali būti parašytas kaip . Kuriame Ir - kompleksiniai skaičiai, kuriuose -1 yra tikroji dalis, 2 arba antruoju atveju -2 yra menamoji dalis. Įsivaizduojama dalis taip pat yra tikrasis skaičius. Menama dalis, padauginta iš menamo vieneto, reiškia jau įsivaizduojamas skaičius.

Apskritai kompleksinis skaičius turi formą

z = X + oi ,

Kur X y– realieji skaičiai, – menamasis vienetas. Daugelyje taikomųjų mokslų, pavyzdžiui, elektrotechnikoje, electronicje, signalų teorijoje, įsivaizduojamas vienetas žymimas j. Realūs skaičiai x = Re(z)įsivaizduojamas y =La fel de(z) yra vadinami tikrosios ir menamos dalys skaičių z. Išraiška vadinama format algebrinė parašyti kompleksinį skaičių.

Bet koks tikrasis skaičius yra specialus formos kompleksinio skaičiaus atvejis . Įsivaizduojamasis skaičius taip pat yra ypatingas kompleksinio skaičiaus atvejis .

Kompleksinių skaičių C aibės apibrėžimas

Ši išraiška skamba taip: set S.U., susidedantis iš tokių elementų, kad Xįsivaizduojamas y priklauso realiųjų skaičių aibei R ir yra įsivaizduojamas vienetas. Atkreipkite dėmesį, kad ir kt.

Du kompleksiniai skaičiai Ir yra lygios tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. Ir.

Sudėtingi skaičiai și funkcijos plačiai naudojami moksle ir technikoje, ypač mechanikoje, kintamosios srovės grandinių analizėje ir skaičiavime, analoginėje elektronikeje, signalų teorijoje ir apdorojime, automatinio valdymouse teoriks și kintamosios mokstuose.

1. Kompleksinių skaičių aritmetika

Dviejų kompleksinių skaičių sudėjimas susideda iš jų tikrosios ir menamos dalių sudėjimo, t.y.

Atitinkamai, dviejų kompleksinių skaičių skirtumas

Sudėtingas skaičius bi visapusiškai yra vadinami numărį z =x+oi.

Sudėtiniai konjuguoti skaičiai z ir z * skiriasi menamos dals ženklais. Tai Akivaizdu

.

Bet kokia lygybė tarp sudėtingų išraiškų išlieka galiojanti, jei ji yra visur šioje lygybėje , A pakeistas - , A, Multumesc. , Aįsivaizduojamas – , A pereikite prie konjuguotų skaičių lygybės. Skaičiai .

yra algebriškai neatskiriami, nes

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga (daugyba) gali būti apskaičiuojama taip:

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas::

1. Pavyzdys

Sudėtinga plokštuma Kompleksinį skaičių galima pavaizduoti grafiškai stačiakampėje koordinačių sistemoje. Apibrėžkime stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje

(X y). Ant ašies Jautis X padėsime tikras dalis , tai vadinama tikroji (tikra) ašis , ant ašies Oi y– menam zilnic kompleksiniai skaičiai. Tai vadinamaįsivaizduojama ašis sudėtinga plokštuma. Šiuo atveju kiekvienas kompleksinis skaičius atitinka tam tikrą plokštumos tašką ir tokia plokštuma vadinama 1. Tikrasis skaičius. Taškas kompleksinė plokštuma atitiks vektorių.

O.A. X Skaičius paskambino Skaičius y – kompleksinis skaičius, skaičius.

ordonate

Sudėtingų konjuguotų skaičių pora pavaizduota taškais, esančiais simetriškai apie tikrąją ašį. Jei lėktuve mes keliamės poliarinė koordinačių sistem z, tada kiekvienas kompleksinis skaičius nustatomi polinėmis koordinatėmis. Kuriame skaičių modulis yra taško poliarinis spindulys ir kampas z.

- jo poliarinio kampo arba kompleksinio skaičiaus argumentas Kompleksinio skaičiaus modulis visada neneigiamas. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra vienareikšmiškai nustatytas. Pagrindinė argumento reikšmė turi atitikti sąlygą . Kiekvienas kompleksinės plokštumos taškas taip pat atitinka bendrą reikšmę

argumente. Argumentai, kurie skiriasi 2π kartotiniu, laikomi lygiais. Skaičiaus nulis argumentas neapibrėžtas.

Pagrindinė argumento reikšmė nustatoma pagal posakius:

Tai Akivaizdu
, .

Kuriame z Sudėtingų skaičių vaizdavimas

bi kaip trigonometrinė forma

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas:.

1. kompleksinis skaičius.

Eksponentinė kompleksinių skaičių forma Seria Maclaurin tikrosioms argumentų funkcijoms Turi formą:

Eksponentinei funkcijai su sudėtingu argumentu z skilimas panasus

.

Įsivaizduojamo argumento eksponentinės funkcijos Maclaurin serijos išplėtimas gali būti pavaizduotas kaip

Gauta tapatybė vadinama Eulerio formula.

Neigiamam argumentui jis turi formą

Sujungdami šias išraiškas galite apibrėžti šias sinuso ir kosinuso išraiškas

.

Naudojant Eulerio formulę, iš kompleksinių skaičių vaizdavimo trigonometrinės formos

prieinama orientacinis(eksponentinė, polinė) kompleksinio skaičiaus forma, t.y. jo vaizdavimas formee

,

Kur - poliarinės taško koordinatės su stačiakampėmis koordinatėmis ( X,y).

Kompleksinio skaičiaus konjugatas eksponentine forma užrašomas taip.

Eksponentinei formai nesunku nustatyti šias kompleksinių skaičių dauginimo ir dalijimo formules

Tai yra, eksponentine forma kompleksinių skaičių sandauga ir padalijimas yra paprastesnis nei algebrine forma. Dauginant dauginami faktorių moduliai, pridedami argumentai. Ši taisyklė taikoma daugeliui veiksnių. Ypač dauginant kompleksinį skaičių zįjungta , A vectorius z sukasi prieš laikrodžio rodyklę 90

Dalijimo metu skaitiklio modulis dalijamas iš vardiklio modulio, o vardiklio argumentas atimamas iš skaitiklio argumento.

Naudodami kompleksinių skaičių eksponentinę formą, galime gauti gerai žinomų trigonometrinių tapatybių išraiškas. Pavyzdžiui, iš tapatybės

naudodamiesi Eilerio formule galime parašyti

Šioje išraiškoje prilyginus realiąją ir įsivaizduojamą dalis, gauname kampų sumos kosinuso ir sinuso išraiškas

1. Kompleksinių skaičių laipsniai, šaknys ir logaritmai

Kompleksinio skaičiaus didinimas iki natūralios laipsnio n gaminamas pagal formulę

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas:. Paskaičiuokime .

Įsivaizduokime skaičių forma trigonometrină

’

Taikydami eksponencijos formulę gauname

Įvesdami reikšmę į išraišką r= 1, gauname vadinamąjį Moivre'o formulė, su kuria galite nustatyti kelių kampų sinusų ir kosinusų išraiškas.

Šaknis n- kompleksinio skaičiaus laipsnis z Tai turi n skirtingos reikšmės, kurias nustato išraiška

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas:. Suraskime.

Norėdami tai padaryti, išreiškiame kompleksinį skaičių () forma trigonometrică

.

Naudodami kompleksinio skaičiaus šaknies apskaičiavimo formulę, gauname

Kompleksinio skaičiaus logaritmas z- tai yra skaičius w, kuriam. Natūralus kompleksinio skaičiaus logaritmas turi begalinį reikšmių skaičių și apskaičiuojamas pagal formulę

Susideda iš tikrosios (kosinuso) ir menamos (sinuso) dalių. Ši įtampa gali būti pavaizduota kaip ilgio vektorius Hm, pradinė fazė (kampas), besisukanti kampiniu greičiu ω .

Be to, jei pridedamos sudėtingos funkcijos, pridedamos tikrosios ir įsivaizduojamos jų dalys. Jei sudėtinga funkcija padauginama iš pastovios arba tikrosios funkcijos, tai jos tikroji ir menamoji dalys dauginamos iš to paties koeficiento. Tokios sudėtingos funkcijos diferencijavimas / integravimas yra susijęs su realių ir įsivaizduojamų dalių diferencijavimu / integravimu.

Pavyzdžiui, atskiriant sudėtingą streso išraišką

yra padauginti iš iω yra tikroji funkcijos f(z) dalis ir – įsivaizduojama funkcijos dalis. Pavyzdziai: .

Reikšmė z yra pavaizduotas tašku kompleksinėje z plokštumoje ir atitinkama reikšme w- taškas kompleksinėje plokštumoje w. Kai rodoma w = f(z) plokštumos linijos z transformuoti į plokštumos linijas w, vienos plokštumos figūras paverčia kitos figūromis, tačiau linijų ar figūrų formos gali labai pasikeisti.

Pamokos planas.

1. Organizacinis momentas.

2. Medžiagos pristatymas.

3. Namų darbai.

4. Pamokos apibendrinimas.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

II. Medžiagos pristatymas.

Motyvacija.

Realiųjų skaičių aibės išplėtimas susideda iš naujų skaičių (įsivaizduojamųjų) pridėjimo prie realių skaičių. Šie skaičiai įvedami dėl to, kad realiųjų skaičių aibėje neįmanoma išskirti neigiamo skaičiaus šaknies.

Įvadas į kompleksinio skaičiaus sąvoką.

Įsivaizduojami skaičiai, kuriais papildome realiuosius skaičius, rašomi forma 2. Kompleksinis skaičius 0, Kur , A yra įsivaizduojamas vienetas ir i 2 = - 1.

Remdamiesi tuo, gauname tokį kompleksinio skaičiaus apibrėžimą.

Apibrėžimas. Kompleksinis skaičius yra formos išraiška yra parašyti tokia forma:, Kur . Ciaįsivaizduojamas A- realūs skaičiai. Šiuo atveju tenkinamos šios sąlygos:

a) Du kompleksiniai skaičiai a 1 + b 1 iįsivaizduojamas a 2 + b 2 i lygus tada ir tik tada a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Kompleksinių skaičių sudėjimas nustatomas pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksinių skaičių daugyba nustatoma pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma.

Kompleksinio skaičiaus rašymas formee yra parašyti tokia forma: vadinama kompleksinio skaičiaus algebrine forma, kur 1. Tikrasis skaičius- tikroji dalis, 2. Kompleksinis skaičius 0 yra įsivaizduojama dalis ir A- tikras numeris.

Sudėtingas skaičius yra parašyti tokia forma: laikomas lygiu nuliui, jei jo tikroji ir menamoji dalys yra lygios nuliui: a = b = 0

Sudėtingas skaičius yra parašyti tokia forma: adresu b = 0 laikomas tokiu pat skaičiumi kaip tikrasis skaičius . Cia: a + 0i = a.

Sudėtingas skaičius yra parašyti tokia forma: adresu a = 0 vadinamas grynai įsivaizduojamu ir žymimas 2. Kompleksinis skaičius 0: 0 + bi = bi.

Du kompleksiniai skaičiai z = a + biįsivaizduojamas = a – bi, besiskiriantys tik įsivaizduojamos dalia ženklu, vadinami konjuguotais.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

Su kompleksiniais skaičiais galite atlikti šias operacijas algebrine forma.

1) Papildime.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių suma z 1 = a 1 + b 1 iįsivaizduojamas z 2 = a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, kurio tikroji dalis lygi realiųjų dalių sumai z 1įsivaizduojamas z 2, o menamoji dalis yra įsivaizduojamų skaičių dalių suma z 1įsivaizduojamas z 2, tai yra z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Skaičiai z 1įsivaizduojamas z 2 vadinami terminais.

Kompleksinių skaičių sudėjimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociații: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Sudėtingas skaičius –a –bi vadinamas kompleksinio skaičiaus priešingybe z = a + bi. Kompleksinis skaičius, priešingas kompleksiniam skaičiui z, pažymėta -z. Kompleksinių skaičių suma zįsivaizduojamas -z lygus nullui: z + (-z) = 0

1 pavyzdys: atlikite pridėjimą (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Atimtis.

Apibrėžimas. Atimti iš kompleksinio skaičiaus z 1 kompleksinis skaičius z 2 z, Ką z + z 2 = z 1.

Teorema. Skirtumas tarp kompleksinių skaičių egzistuoja ir yra unikalus.

2 pavyzdys: atlikite atimtį (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) – (-3 + 2i) = (4 – (-3)) + (-2 – 2) i = 7 – 4i.

3) Daugyba.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių sandauga z 1 =a 1 +b 1 iįsivaizduojamas z 2 =a 2 +b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, apibrėžta lygybe: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Skaičiai z 1įsivaizduojamas z 2 vadinami veiksniais.

Kompleksinių skaičių dauginimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociații: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Daugybos pasiskirstymas, palyginti su pridėjimu:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- tikras numeris.

Praktiškai kompleksiniai skaičiai dauginami pagal taisyklę, kad suma dauginama iš sumos ir atskiriama tikroji ir menama dalis.

Toliau pateiktame pavyzdyje apsvarstysime, kaip sudėtingus skaičius padauginti dviem būdais: pagal taisyklę ir padauginus sumą iš sumos.

3 pavyzdys: atlikite dauginimą (2 + 3i) (5–7i).

1 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) )i = 31 + i.

2 metode. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Padalijimas.

Apibrėžimas. Padalinkite kompleksinį skaičių z 1 iki kompleksinio skaičiaus z 2, reiškia rasti tokį kompleksinį skaičių z, Ką z · z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių koeficientas egzistuoja ir yra unikalus, jei z 2 ≠ 0 + 0i.

Praktiškai kompleksinių skaičių koeficientas randamas skaitiklį ir vardiklį padauginus iš vardiklio konjugato.

Leisti z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Tada

.

Toliau pateiktame pavyzdyje mes atliksime padalijimą naudodami formulę ir daugybos iš skaičiaus, susieto su vardikliu, taisyklę.

4 pavyzdys. Raskite koeficientą .

5) Pakėlimas į teigiamą visumos galią.

a) Menamo vieneto galios.

Pasinaudojus lygybe i 2 = -1, nesunku apibrėžti bet kokią teigiamą sveikąjį įsivaizduojamo vieneto galią. Mesturime:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 este tt

Tai rodo, kad laipsnio reikšmės aš n, Kur n– teigiamas sveikasis skaičius, periodiškai kartojamas, kai rodiklis didėja 4 .

Todėl norėdami padidinti skaičių , A iki teigiamos visumos laipsnio, turime padalyti rodiklį iš 4 starea lui , A laipsniui, kurio rodiklis yra lygus dalybos likusiai daliai.

5 pavyzdys: Apskaičiuokite: (i 36 + i 17) ir 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Kompleksinio skaičiaus didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio atliekamas pagal dvinario didinimo iki atitinkamos laipsnio taisyklę, nes tai yra ypatingas identiškų kompleksinių veiksnių dauginimo.

6 pavyzdys: Apskaičiuokite: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

14.3 Taškas begalybėje kaip kompleksinio kintamojo funkcijos vienaskaitos taškas

Pratarmė

Teisingai paskirstyti laiką ir pastangas ruošiantis teorinei ir praktinei egzamino ar modulio atestavimo dalims yra gana sunku, juolab, kad sesijos metu visada neužtenka laiko. Ir kaip rodo praktika, ne visi gali su tuo susidoroti. Dėl to per egzaminą vieni mokiniai teisingai sprendžia uždavinius, tačiau sunkiai atsako į paprasčiausius teorinius klausimus, kiti gali suformuluoti teoremą, bet nemoka jos pritaikyti.

Šios pasirengimo egzaminui kurso „Sudėtingo kintamojo funkcijų teorija“ (TFCP) gairės yra bandymas išspręsti šį prieštaravimą ir užtikrinti vienu metu kurso teorinės ir praktinės medžiagos kar tojimągos. Vadovaujantis principu „Teorija be practices yra mirusi, praktika be teorijos akla“, juose pateikiamos tiek teorinės kurso nuostatos apibrėžimų ir formuluočių lygmeniu, tiek pavyzdžiai, iliustruojantys teorinės paleikym pozicijos ir taiipų lygmeniu. jos įsiminimas ir supratimas.

Siūlomo tikslas metodinės rekomendacijos– padėti mokiniui pasiruošti pagrindinio lygio egzaminui. Kitaip tariant, buvo sudarytas išplėstinis darbo vadovas, kuriame yra pagrindiniai dalykai, naudojami TFKP kurso pamokose ir reikalingi atliekant namų darbus bei ruošiantis testams. Be savarankiško studentų darbo, šis elektroninis edukacinis leidinys gali būti naudojamas vedant užsiėmimus interaktyvia forma naudojant elektroninę lentą arba stojantis į nuotolinio mokymosi sistemą.

Atkreipkite dėmesį, kad šis darbas nepakeičia nei vadovėlių, nei paskaitų konspektų. Norint nuodugniai ištirti medžiagą, rekomenduojama kreiptis į atitinkamas MSTU paskelbtas dalis. N.E. Baumano pagrindinis vadovėlis.

Vadovo pabaigoje yra rekomenduojamos literatūros sąrašas ir dalykinė rodyklė, kurioje yra viskas, kas paryškinta tekste paryškintas kursyvas terminai. Indeksą sudaro hipersaitai į skyrius, kuriuose šie terminai yra griežtai apibrėžti arba aprašyti ir kuriuose pateikiami jų naudojimą iliustruojantys pavyzdžiai.

Vadovas skirtas visų MSTU fakultetų II curs studentams. N.E. Baumanas.

1. Algebrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma

Formos z = x + iy žymėjimas, kur x, y yra realieji skaičiai, i yra įsivaizduojamas vienetas (ty i 2 = − 1)

vadinama kompleksinio skaičiaus z užrašymo algebrine forma. Šiuo atveju x vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymimas Re z (x = Re z), y vadinamas įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymimas Im z (y = Im z).

Pavyzdys. Kompleksinis skaičius z = 4 − 3i turi realiąją dalį Re z = 4 ir įsivaizduojamą dalį Im z = − 3 .

2. Kompleksinių skaičių plokštuma

ÎN nagrinėjamos kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoskompleksinių skaičių plokštuma, kuris žymimas arba raidėmis, žyminčiomis kompleksinius skaičius z, w ir kt.

Horizontalioji kompleksinės plokštumos ašis vadinama tikroji ašis, ant jo dedami tikrieji skaičiai z = x + 0 i = x.

Vertikali kompleksinės plokštumos ašis vadinama įsivaizduojama ašimi;

3. Sudėtiniai konjuguoti skaičiai

Vadinami skaičiai z = x + iy ir z = x − iy kompleksinis conjugatas. Sudėtingoje plokštumoje jie atitinka taškus, kurie yra simetriški tikrosios ašies atžvilgiu.

4. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma

4.1 Kompleksinių skaičių sudėjimas

Taigi kompleksinių skaičių dauginimo operacija yra panaši į algebrinių dvinarių dauginimo operaciją, atsižvelgiant į tai, kad i 2 = − 1.

Prisiminkime reikiamą informaciją apie kompleksinius skaičius.

Sudėtingas skaičius yra formos išraiška . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0, Kur . Cia, A yra realūs skaičiai ir , A-vadinamaza įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas lygus –1, tai yra , A 2 = –1. Skaičius . Cia Skaičius tikroji dalis, numărul său A - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0. Jeigu A= 0, tada vietoj . Cia + 0, A jie rašo paprastai . Cia. Galima pastebėti, kad realieji skaičiai yra ypatingas kompleksinių skaičių atvejis.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais skaičiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0) ± ( c + di) = (. Cia ± c) + (A ± d), A, o daugyba vyksta pagal taisyklę ( . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0) · ( c + di) = (ac – bd) + (Reklama + relatii cu publicul. Kr), A(čia jis naudojamas , A 2 = –1). Skaičius = . Cia – 2. Kompleksinis skaičius 0 Skaičius kompleksinis conjugatasĮ z = . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0. Lygybė z · = . Cia 2 + A 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:

(Pavyzdžiui, .)

Sudėtiniai skaičiai turi patogų ir vaizdinį geometrinį vaizdą: skaičių z = . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0 gali būti pavaizduotas vektoriumi su koordinatėmis ( . Cia; A) Dekarto plokštumoje (arba, kas yra beveik tas pats, taškas – vektoriaus su šiomis koordinatėmis pabaiga). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti naudojant lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą, vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( . Cia; A) yra lygus. Šis kiekis vadinamas nustatomi polinėmis koordinatėmis. Kuriame kompleksinis skaičius z = . Cia + 2. Kompleksinis skaičius 0 ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumente kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumente neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant vertę, kuri yra 2 kartotinė π radianų (arba 360°, jei skaičiuojant laipsniais) – juk aišku, kad tokiu kampu apsisukus aplink pradžią vektoriaus nepakeisi. Bet jei ilgio vectorius r sudaro kampą φ su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ ; r nuodėmė φ ). Iš čia paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| · (cos(Arg z) + , A nuodėmė (Arg z)). Šia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Padauginti kompleksinius skaičius trigonometrine forma yra labai paprasta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + , A nuodėmė (Arg z 1 + Arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami). Iščia secti formule Moivre'o: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + , A nuodėmė ( n· (Arg z))). Naudojant šias formules, lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. Šaknis n-asis laipsnis Nuo numerio z– tai kompleksinis skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku ,Irkur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n- 1). n Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n kompleksinio skaičiaus laipsnis (plokštumoje jie yra dėsnio viršūnėse