Šioje pamokoje mes apžvelgsime trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio ir spręsime šios temos problemas. Apibrėžkime bendro vardiklio ir papildomo veiksnio sąvoką, prisiminkime apie abipusius pirminius skaičius. Apibrėžkime mažiausio bendro vardiklio (LCM) sąvoką ir išspręskime daugybę problemų, kad ją rastume.
Tema: trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas
Pamoka: trupmenų konvertavimas į bendrą vardiklį
Kartojimas. Pagrindinė trupmenos savybė.
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada gaunama lygi trupmena.
Pavyzdžiui, trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padalyti iš 2. Gauname trupmeną. Ši operacija vadinama frakcijų mažinimu. Taip pat galite atlikti atvirkštinę transformaciją, padaugindami trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 2. Šiuo atveju jie sako, kad mes sumažinome trupmeną iki naujo vardiklio. Skaičius 2 vadinamas papildomu veiksniu.
Isvestis. Trupmeną galima sumažinti iki bet kurio vardiklio, tam tikros trupmenos vardiklio kartotinio. Norint trupmeną perkelti į naują vardiklį, jos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš papildomo koeficiento.
1. Perveskite trupmeną į vardiklį 35.
35 godina 7 kartotina, tai yra, 35 dalijasi iš 7 be liekanos. Tai reiškia, kad si transformacija yra įmanoma. Raskime papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, padalinkite 35 iš 7. Gauname 5. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 5.
2. Perveskite trupmeną į vardiklį 18.
Raskime papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, padalijame naują vardiklį iš pradinio. Gauname 3. Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 3.
3. Atveskite trupmeną iki vardiklio 60.
Padalinę 60 iš 15, gauname papildomą daugiklį. Tai yra 4. Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 4.
4. Sumažinkite trupmeną iki vardiklio 24
Paprastais atvejais redukcija iki naujo vardiklio atliekama mintyse. Papildomą daugiklį galima nurodyti tik už skliausto dešinėje ir virš pradinės trupmenos.
Trupmeną galima sumažinti iki vardiklio 15, o trupmeną iki vardiklio 15. Trupmenos taip pat turi bendrą vardiklio 15.
Bendras trupmenų vardiklis gali būti bet koks bendras jų vardiklių kartotinis. Paprastumo dėlei trupmenos duoda mažiausią bendrą vardiklį. Jis lygus šių trupmenų vardiklių mažiausiam bendrajam kartotiniui.
Pavyzdys. Sumažinti iki mažiausio bendro trupmenos vardiklio ir.
Pirma, suraskite mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardiklių kartotinį. Šis skaičius yra 12. Raskime papildomą koeficientą pirmai ir antrai trupmenai. Norėdami tai padaryti, padalinkite 12 iš 4 ir 6. Trys yra papildomas pirmosios trupmenos koeficientas, o antrajai - du. Sumažinkime trupmenas iki vardiklio 12.
Suvedėme trupmenas į bendrą vardiklį, tai yra, radome joms lygias trupmenas, kurios turi tą patį vardiklį.
Taisykle. Norėdami suvesti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, jums reikia
Pirma, suraskite mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardklių kartotinį, tai bus jų mažiausias bendras vardiklis;
Antra, padalykite mažiausią bendrą vardiklį iš šių trupmenų vardikų, tai yra, raskite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą.
Trečia, padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento.
a) Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.
Mažiausias bendras vardiklis yra 12. Pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 4, o antrosios – 3. Trupmenas perkelkite į vardiklį 24.
b) Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.
Mažiausias bendras vardiklis yra 45. Padalijus 45 iš 9 iš 15, gaunama atitinkamai 5 ir 3. Trupmenas priveskite prie vardiklio 45.
c) Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.
Bendras vardiklis yra 24. Papildomi koeficientai yra atitinkamai 2 ir 3.
Kartais sunku žodžiu rasti mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardiklių kartotinį. Tada bendras vardiklis ir papildomi veiksniai randami naudojant pirminį faktorių.
Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.
Padalinkime skaičius 60 ir 168 į pirminius koeficientus. Parašykime 60 išskaidymą ir iš antrojo skilimo pridėkime trūkstamus koeficientus 2 ir 7. Padauginkite 60 iš 14, kad gautumėte bendrą vardiklį 840. Pirmosios variant papildomy papildomy koeficients.
Bibliografija
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ir kita matematika 6. - M .: Mnemosina, 2012 m.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikos 6 razred. - Gimnazija, 2006 m.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. – Išsilavinimas, 1989 m.
4. Rurukinas A.N., Čajkovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 kl. – ZŠ MEPhI, 2011. m.
5. Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Mathematica 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. – ZŠ MEPhI, 2011. m.
6. Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O. ir kt.. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas vidurinės mokyklos 5-6 classms Matematikos mokytojo biblioteka. – Išsilavinimas, 1989 m.
Galite atsisiųsti 1.2 punkte nurodytas knygas. Sios pamokos.
Namų darbai
Vilenkinas N.Y., Žokovas V.I., Česnokovas A.S. ir kt., Matematika 6. - M .: Mnemosina, 2012. (nuoroda žr. 1.2)
Namų darbai: #297, #298, #300.
Kitos užduotys: #270, #290
Kaip suvesti algebrines (racionaliąsias) trupmenas į bendrą vardiklį?
1) Jei trupmenų vardikliai yra daugianariai, turite išbandyti vieną iš žinomų būdų.
2) Mažiausias bendras vardiklis (LCN) susideda iš je visų atsižvelgti į veiksnius didziausias laipsni.
Žodžiu ieškoma mažiausio skaičių bendro vardiklio kaip mažiausio skaičiaus, kuris dalijasi iš likusių skaičių.
3) Norint rasti papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą, naujasis vardiklis turi būti padalintas iš senojo.
4) Pradinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš papildomo koeficiento.
Apsvarstykite pavyzdžius, kaip sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio.
Norėdami rasti bendrą skaičių vardiklį, pasirinkite didesnį skaičių ir patikrinkite, ar jis dalijasi iš mažesnio. 15 nesidalija iš 9. Padauginkite 15 iš 2 ir patikrinkite, ar gautas skaičius dalijasi iš 9. 30 9. 15 nesidalija iš padauginame iš 3 ir patikriname, ar gautas skaičius 2 ir patikrinkite, ar gautas skaičius dalijasi iš 9. 30 9. 15 nesidalija iš padauginame iš 3 ir patikriname, ar gautas skaičius dalijasi, dalijasi, dalijasi, dalijasi, dalijasi i5 dalijasi9 .
Mažiausias bendras vardiklis yra visi veiksniai, paimti didžiausiu mastu. Taigi bendras šių trupmenų vardiklis yra 45 pne (raidės dažniausiai rašomos abėcėlės tvarka).
Norint rasti papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą, naujasis vardiklis turi būti padalintas iš senojo. 45bc: (15b) = 3c, 45bc: (9c) = 5b. Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš papildomo koeficiento:
Pirmiausia ieškome bendro skaičių vardiklio: 8 iš 6 nesidalija, 8 ∙ 2 = 16 iš 6 nesidalija, 8 ∙ 3 = 24 iš 6 dalijasi. Kiekvienas kintamasis turi būti vieną kartą įtrauktas į bendrą vardiklį. Iš laipsnių imame laipsnį su dideliu laipsniu.
Taigi bendras šių trupmenų vardiklis yra 24a³bc.
Norėdami rasti papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą, turite padalyti naują vardiklį iš senojo: 24a³bc: (6a³c) = 4b, 24a³bc: (8a²bc) = 3a.
Papildomas koeficientas padauginamas iš skaitiklio ir vardiklio:
Reikalingi šių trupmenų vardikliuose esantys polinomai. Pirmosios trupmenos vardiklis yra visas skirtumo kvadratas: x²-18x + 81 = (x-9)²; antrajame vardiklyje - kvadratų skirtumas: x²-81 = (x-9) (x + 9):
Bendrą vardiklį sudaro visi veiksniai, paimti didžiausiu mastu, ty lygūs (x-9) ² (x + 9). Raskite papildomų koeficientų ir padauginkite juos iš kiekvienos trupmenos skaitiklio ir vardiklio:
Bendrojo vardiklio mažinimo shema
- Būtina nustatyti, koks bus mažiausias bendrasis trupmenų vardiklių kartotinis. Jei turite reikalų su mišriu arba sveiku skaičiumi, pirmiausia turite jį paversti trupmena ir tik tada nustatyti mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. Norėdami paversti sveikąjį skaičių i trupmeną, skaitiklyje turite įrašyti patį skaičių, o vardiklyje - vieną. Pavyzdžiui, skaičius 5 kaip trupmena atrodytų taip: 5/1. Norėdami paversti mišrų skaičių trupmena, turite padauginti visą skaičių iš vardiklio ir pridėti prie jo skaitiklį. Pavyzdys: 8 sveikieji skaičiai ir 3/5 kaip trupmena = 8x5 + 3/5 = 43/5.
- Po to reikia rasti papildomą koeficientą, kuris nustatomas padalijus NOZ iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
- Paskutinis žingsnis yra trupmenos padauginimas iš papildomo koeficiento.
Svarbu atsiminti, kad konvertavimas į bendrą vardiklį nėra skirtas tik sudėti ar atimti. Norėdami palyginti kelias trupmenas su skirtingais vardikliais, taip pat pirmiausia turite sujungti kiekvieną iš jų į bendrą vardiklį.
Bendras trupmenų vardiklis
Norint suprasti, kaip suvesti trupmeną į bendrą vardiklį, būtina suprasti kai kurias trupmenų savybes. Taigi, svarbi savybė, naudojama redukuoti iki NCD, yra trupmenų lygybė. Kitaip tariant, jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš skaičiaus, tada rezultatis yra trupmena, lygi ankstesnei. Kaip pavyzdį paimkime toliau pateiktą pavyzdį. Norėdami, kad trupmenos 5/9 ir 5/6 būtų mažiausias bendras vardiklis, turite atlikti šiuos veiksmus:
- Pirma, suraskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį. Šiuo atveju skaičiams 9 ir 6 LCM autobus 18.
- Nustatykite papildomus kiekvienos frakcijos veiksnius. Tai daroma taip. LCM padalijame iš kiekvienos trupmenos vardiklio, todėl gauname 18: 9 = 2 ir 18: 6 = 3. Šie skaičiai bus papildomi veiksniai.
- ĮNOZ atnešame dvi frakcije. Kai padauginate trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti ir skaitiklį, ir vardiklį. Trupmeną 5/9 galima padauginti iš papildomo koeficiento 2, taip gaunama trupmena, lygi šiai – 10/18. Tą patį darome su antrąja trupmena: 5/6 padauginkite iš 3, gausime 15/18.
Kaip matote iš aukščiau pateikto pavyzdžio, abi trupmenos buvo sumažintos iki mažiausio bendro vardiklio. Norėdami pagaliau išsiaiškinti, kaip rasti bendrą vardiklį, turite įvaldyti kitą trupmenų savybę. Tai slypi tame, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima atšaukti tuo pačiu skaičiumi, kuris vadinamas bendruoju dalikliu. Pavyzdžiui, 12/30 galima sumažinti iki 2/5, padalijus jį iš bendro koeficiento 6.
Trupmenos turi skirtingą arba tą patį vardiklį. Vadinamas tuo pačiu vardikliu arba kitaip Bendras vardiklis turėti trupmeną. Bendrojo vardiklio pavyzdys:
\(\frac(17)(5),\frac(1)(5)\)
Skirtingų trupmenų vardklių pavyzdys:
\(\frac(8)(3),\frac(2)(13)\)
Kaip suvesti trupmeną į bendrą vardiklį?
Pirmosios trupmenos vardiklis yra 3, antrosios – 13. Reikia rasti skaičių, kuris dalijasi ir iš 3, ir iš 13. Šis skaičius yra 39.
Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš papildomas veiksnys 13. Kad trupmena nesikeistų, turime padauginti ir skaitiklį iš 13, ir vardiklį.
\(\frac(8)(3)=\frac(8\kartus\spalva(raudona)(13))(3\kartus\spalva(raudona)(13))=\frac(104)(39)\)
Antroji trupmena padauginama iš papildomo koeficiento 3.
\(\frac(2)(13)=\frac(2\kartus\spalva(raudona)(3))(13\kartų\spalva(raudona)(3))=\frac(6)(39)\)
Suvedėme trupmeną į bendrą vardiklį:
\(\frac(8)(3)=\frac(104)(39),\frac(2)(13)=\frac(6)(39)\)
Mažiausias bendras vardiklis.
Panagrinėkime kitą pavyzdį:
Sumažinkime trupmenas \ (\ frac (5) (8) \) ir \ (\ frac (7) (12) \) iki bendro vardiklio.
Skaičių 8 ir 12 bendras vardiklis gali būti skaičiai 24, 48, 96, 120, ..., įprasta rinktis mažiausias bendras vardiklis mūsų atveju šis skaičius yra 24.
Mažiausias bendras vardiklis Mažiausias skaičius, iš kurio padalytas pirmosios ir antrosios trupmenos vardiklis.
Kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį?
Išvardijant skaičius, iš kurių padalijamas pirmosios ir antrosios trupmenų vardiklis ir pasirenkama mažiausia iš jų.
Mums reikia trupmenos, kurios vardiklis 8, padaugintas iš 3, o trupmena su vardikliu 12 padauginta iš 2.
\(\start(lygiuoti)&\frac(5)(8)=\frac(5\kartus\spalva(raudona)(3))(8\kartus\spalva(raudona)(3))=\frac(15 ) ) (24) \\\\ & \ frac (7) (12) = \ frac (7 \ kartus \ spalva (raudona) (2)) (12 \ kartų \ spalva (raudona) (2)) = \ frac ( 14) (24) \\\\\pabaiga (lygiuoti)\)
Jei iš karto nepavyksta suvesti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, tai nieko blogo, toliau sprendžiant pavyzdį gali tekti gauti atsakymą
Bendrą vardiklį galima rasti bet kurioms dviem trupmenoms; jis gali būti šių trupmenų vardikų sandauga.
Pavyzdziui:
Sumažinkite trupmenas \ (\ frac (1) (4) \) ir \ (\ frac (9) (16) \) iki mažiausio bendro vardiklio.
Lengviausias būdas rasti bendrą vardiklį yra vardklių sandauga 4⋅16 = 64. 64 nėra mažiausias bendras vardiklis. Pagal užduotį reikia rasti tiksliai mažiausią bendrą vardiklį. Todel ieškome toliau. Mame reikia skaičiaus, kuris gali dalytis ir iš 4, ir iš 16, tai yra skaičius 16. Mes gauname:
\(\start(lygiuoti)&\frac(1)(4)=\frac(1\kartus\spalva(raudona)(4))(4\kartus\spalva(raudona)(4))=\frac(4) ) ) (16) \\\\ & \frac (9) (16) = \frac (9 \kartus \spalva (raudona) (1)) (16\kartų \spalva (raudona) (1)) = \frac ( 9) (16) \\\\ \pabaiga (lygiuoti)\)
Iš pradžių norėjau įtraukti bendro vardiklio metodus į trupmenų pridėjimo ir atėmimo pastraipą. Bet informacijos buvo tiek daug, o jos svarba tokia didelė (juk bendri vardikliai skirti ne tik skaitinėms trupmenoms), kad geriau šį klausimą panagrinėti atskirai.
Taigi, tarkime, kad turime dvi trupmenas su skirtingais vardikliais. Ir mes norime užtikrinti, kad vardikliai taptų vienodi. Į pagalbą ateina pagrindinė trupmenos savybė, kuri, prisiminus, skamba taip:
Trupmena nepasikeis, jei jos skaitiklis ir vardiklis bus padauginti iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis.
Taigi, pasirinkus tinkamus veiksnius, trupmenų vardikliai tampa vienodi - šis procesas vadinamas bendrojo vardiklio mažinimu. O reikalingi skaičiai, „išlyginantys“ vardiklius, vadinami papildomais faktoriais.
Kodėl net reikia suvesti trupmenas į bendrą vardiklį? stai tik kelios priezastys:
- Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas. Nėra kito būdo atlikti šią operaciją;
- Trupmenų palyginimas. Kartais konvertuojant į bendrą vardiklį ši užduotis tampa daug lengvesnė;
- Akcijų ir procentų problemų sprendimas. Procentai iš tikrųjų yra įprastos išraiškos, kuriose yra trupmenų.
Yra daug būdų, kaip rasti skaičius, kuriuos padauginus trupmenų vardikliai tampa lygūs. Mes apsvarstysime tik tris iš jų - didėjančio sudėtingumo ir tam tikra prasme efektyvumo tvarka.
Kryžminis dauginimas
Paprasciausias ir patikimiausias būdas sulyginti vardiklius. Eisime į priekį: pirmąją trupmeną padauginsime iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrąją – iš pirmosios. Dėl to abiejų trupmenų vardikliai taps lygūs pradinių vardiklių sandaugai. Pažiūrek:
Apsvarstykite gretimų trupmenų vardiklius kaip papildomus veiksnius. Mes gauname:
Taip, tai taip paprasta. Jei tik pradedate mokytis trupmenų, geriau dirbti būtent šiuo metodu – taip apsidrausite nuo daugybės klaidų ir garantuotai gausite rezultatą.
Vienintelis šio metodo trūkumas yra tas, kad reikia daug skaičiuoti, nes vardikliai dauginami "prieš laiką", ir dėl to galima gauti labai didelius skaičius. Tai kaina, kurią reikia mokėti už patikimumą.
Bendrųjų daliklių metodas
Ši technika padeda labai sumažinti skaičiavimus, tačiau, deja, ji naudojama retai. Metodas yra toks:
- Prieš pradėdami (ty kryžminį metodą), pažvelkite į vardiklius. Galbūt vienas iš jų (didesnis) yra padalintas į kitą.
- Skaičius, gautas atlikus tokį padalijimą, bus papildomas koeficientas trupmenai su mažesniu vardikliu.
- Šiuo atveju trupmenos su dideliu vardikliu iš viso nereikia dauginti - tai yra sutaupymas. Tuo pačiu metu smarkiai sumažėja klaidų tikimybė.
Užduotis. Raskite posakių reikšmes:
Atkreipkite dėmesį, kad 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Kadangi abiem atvejais vienas vardiklis dalijasi iš kito be liekanos, taikome bendrųjų veiksnių metodą. Mes turime:
Atkreipkite dėmesį, kad antroji trupmena niekada nebuvo padauginta iš nieko. Tiesą sakant, skaičiavimo kiekį sumažinome per pusę!
Beje, šiame pavyzdyje trupmenas paėmiau ne be priežasties. Jei jums įdomu, pabandykite juos suskaičiuoti skersai. Po sumažinimo atsakymai bus tie patys, bet darbo bus daug daugiau.
Tai yra bendrųjų daliklių metodo stiprybė, tačiau, kartoju, jis gali būti taikomas tik tada, kai vienas iš vardklių dalijasi iš kito be liekanos. Kas yra pakankamai reta.
Reciausiai paplitęs kelių metodas
Kai trupmenas suvedame į bendrą vardiklį, iš esmės bandome rasti skaičių, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Tada į šį skaičių įtraukiame abiejų trupmenų vardiklius.
Tokių skaičių yra labai daug, o mažiausias iš jų nebūtinai bus lygus pradinių trupmenų vardikų tiesioginei sandaugai, kaip manoma taikant „kryžminį“ metodą.
Pavyzdžiui, vardikliams 8 ir 12 skaičius 24 yra gana tinkamas, nes 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Šis skaičius yra daug mažesnis nei sandauga 8 12 = 96.
Mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio, vadinamas jų mažiausiu bendruoju kartotiniu (LCM).
Žymėjimas: mažiausias bendrasis a ir b kartotinis žymimas LCM (a; b). Pavyzdžiui, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.
Jei galite rasti tokį skaičių, bendra skaičiavimo suma bus minimali. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite posakių reikšmes:
Atkreipkite dėmesį, kad 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2 ir 3 faktoriai yra santykinai pirmieji (jie neturi bendrų faktorių, išskyrus 1), o koeficientas 117 yra bendras. Todėl LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.
Panasije 15 = 5 3; 20 = 5 4. 3 ir 4 faktoriai yra santykinai pirmieji, o koeficientas Todėl LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.
Dabar pateikiame trupmenas į bendrus vardiklius:
Atkreipkite dėmesį, koks naudingas buvo pradinių vardiklių faktorius:
- Radę tuos pačius veiksnius, iš karto priėjome mažiausią bendrą kartotinį, o tai, paprastai kalbant, yra nereikšminga problema;
- Iš gauto išplėtimo galite sužinoti, kokių veiksnių "trūksta" kiekvienai frakcijai. Pavyzdžiui, 234 3 = 702, todėl pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 3.
Jei norite įvertinti, kiek didžiulių pelnų gaunama taikant mažiausiai įprastą kelių metodą, pabandykite tuos pačius pavyzdžius apskaičiuoti naudodami kryžminį metodą. Zinoma, budi skaičiuoklės. Manau, kadpo do komentarai bus nereikalingi.
Nemanykite, kad tokių sudėtingų trupmenų nebus tikruose pavyzdžiuose. Jie susitinka visą laiką, o aukščiau pateiktos užduotys nėra riba!
Vienintelė problema yra tai, kaip rasti šį NOC. Kartais viskas randama per kelias sekundes, pažodžiui „iš akies“, tačiau apskritai tai yra sudėtinga skaičiavimo problema, kurią reikia apsvarstyti atskirai. Mescia to neliesime.
