Apsvarstykite kvadratinę lygtį.

Apibrėžkime jo šaknis.

Nėra tikrojo skaičiaus, kurio kvadratas būtų -1. Bet jei formulė apibrėžia operatorių i kaip įsivaizduojamą vienetą, tada šios lygties sprendinį galima parašyti forma . Kuriame Ir - kompleksiniai skaičiai, kuriuose -1 yra tikroji dalis, 2 arba antruoju atveju -2 yra menamoji dalis. Menama dalis taip pat yra tikrasis (tikrasis) skaičius. Menama dalis, padauginta iš menamo vieneto, reiškia jau įsivaizduojamas skaičius.

Apskritai kompleksinis skaičius turi formą

z = x + oi ,

Kur x, y yra realūs skaičiai, yra įsivaizduojamas vienetas. Daugelyje taikomųjų mokslų, pavyzdžiui, elektrotechnikoje, elektronikoje, signalų teorijoje, įsivaizduojamas vienetas žymimas j. Realūs skaičiai x = Re(z) Ir y=Aš(z) paskambino tikrosios ir menamos dalys numeriai z. Išraiška vadinama algebrinė forma kompleksinio skaičiaus žymėjimas.

Bet koks realusis skaičius yra specialus formos kompleksinio skaičiaus atvejis . Įsivaizduojamasis skaičius taip pat yra ypatingas kompleksinio skaičiaus atvejis. .

Kompleksinių skaičių C aibės apibrėžimas

Ši išraiška skamba taip: set SU, susidedantis iš tokių elementų, kad x Ir y priklauso realiųjų skaičių aibei R ir yra įsivaizduojamas vienetas. Atkreipkite dėmesį, kad ir kt.

Du kompleksiniai skaičiai Ir yra lygios tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. Ir .

Sudėtingi skaičiai ir funkcijos plačiai naudojami moksle ir technikoje, ypač mechanikoje, kintamosios srovės grandinių analizėje ir skaičiavime, analoginėje elektronikoje, signalų teorijoje ir apdorojime, automatinio valdymo teorijoje ir kituose taikomuosiuose moksluose.

1. Kompleksinių skaičių aritmetika

Dviejų kompleksinių skaičių sudėjimas susideda iš jų tikrosios ir menamos dalių sudėjimo, t.y.

Atitinkamai, dviejų kompleksinių skaičių skirtumas

Sudėtingas skaičius paskambino kompleksas konjugatas numerį z=x +i.y.

Sudėtiniai konjuguoti skaičiai z ir z * skiriasi menamos dalies ženklais. Tai akivaizdu

.

Bet kokia lygybė tarp sudėtingų išraiškų lieka galioti, jei ši lygybė yra visur i pakeistas - i, t.y. pereikite prie konjuguotų skaičių lygybės. Skaičiai i Ir – i algebriškai nesiskiria, nes .

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga (daugyba) gali būti apskaičiuojama taip:

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas:

Pavyzdys:

1. Sudėtinga plokštuma

Kompleksinis skaičius gali būti grafiškai pavaizduotas stačiakampėje koordinačių sistemoje. Plokštumoje nustatykime stačiakampę koordinačių sistemą (x, y).

ant ašies Jautis sutvarkysime tikras dalis x, tai vadinama tikroji (tikra) ašis, ant ašies Oy– menamos dalys y kompleksiniai skaičiai. Ji turi vardą įsivaizduojama ašis. Be to, kiekvienas kompleksinis skaičius atitinka tam tikrą plokštumos tašką, ir tokia plokštuma vadinama sudėtinga plokštuma. Taškas A kompleksinė plokštuma atitiks vektorių OA.

Skaičius x paskambino abscisė kompleksinis skaičius, skaičius y – ordinatės.

Sudėtingų konjuguotų skaičių pora rodoma kaip taškai, esantys simetriškai apie tikrąją ašį.

Jei lėktuve nustatyta poliarinė koordinačių sistema, tada kiekvienas kompleksinis skaičius z nustatomi polinėmis koordinatėmis. Kuriame modulis numeriai yra taško poliarinis spindulys ir kampas - jo poliarinio kampo arba kompleksinio skaičiaus argumentas z.

Kompleksinio skaičiaus modulis visada neneigiamas. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Pagrindinė argumento reikšmė turi atitikti sąlygą . Kiekvienas kompleksinės plokštumos taškas taip pat atitinka bendrą argumento reikšmę. Argumentai, kurie skiriasi 2π kartotiniu, laikomi lygiais. Skaičiaus argumentas nulis neapibrėžtas.

Pagrindinė argumento reikšmė nustatoma pagal posakius:

Tai akivaizdu

Kuriame
, .

Sudėtingų skaičių vaizdavimas z kaip

paskambino trigonometrinė forma kompleksinis skaičius.

Pavyzdys.

1. Eksponentinė kompleksinių skaičių forma

Skilimas į Maclaurin serija tikrosioms argumentų funkcijoms atrodo kaip:

Sudėtingo argumento eksponentinei funkcijai z skilimas yra panašus

.

Įsivaizduojamo argumento eksponentinės funkcijos Maclaurin serijos išplėtimas gali būti pavaizduotas kaip

Gauta tapatybė vadinama Eulerio formulė.

Dėl neigiamo argumento, atrodo

Sujungdami šias išraiškas galime apibrėžti šias sinuso ir kosinuso išraiškas

.

Naudojant Eulerio formulę, iš kompleksinių skaičių vaizdavimo trigonometrinės formos

prieinama demonstratyvus(eksponentinė, polinė) kompleksinio skaičiaus forma, t.y. jos vaizdavimas formoje

,

Kur - poliarinės taško koordinatės su stačiakampėmis koordinatėmis ( x,y).

Kompleksinio skaičiaus konjugatas eksponentine forma užrašomas taip.

Eksponentinei formai nesunku apibrėžti šias kompleksinių skaičių daugybos ir dalybos formules

Tai yra, eksponentine forma kompleksinių skaičių sandauga ir padalijimas yra lengvesnis nei algebrine forma. Dauginant dauginami faktorių moduliai, pridedami argumentai. Ši taisyklė taikoma daugeliui veiksnių. Ypač dauginant kompleksinį skaičių zįjungta i vektorius z sukasi prieš laikrodžio rodyklę 90 laipsnių kampu

Dalijimo metu skaitiklio modulis yra padalintas iš vardiklio modulio, o vardiklio argumentas atimamas iš skaitiklio argumento.

Naudojant kompleksinių skaičių eksponentinę formą, galima gauti gerai žinomų trigonometrinių tapatybių išraiškas. Pavyzdžiui, iš tapatybės

naudodamiesi Eulerio formule galime rašyti

Šioje išraiškoje prilyginę tikrosią ir įsivaizduojamą dalis, gauname kampų sumos kosinuso ir sinuso išraiškas

1. Kompleksinių skaičių laipsniai, šaknys ir logaritmai

Kompleksinio skaičiaus didinimas iki natūralios laipsnio n gaminamas pagal formulę

Pavyzdys. Apskaičiuokite .

Įsivaizduokite skaičių trigonometrine forma

’

Taikydami eksponencijos formulę gauname

Vertės įvedimas į išraišką r= 1, gauname vadinamąjį De Moivre'o formulė, su kuria galite nustatyti kelių kampų sinusų ir kosinusų išraiškas.

Šaknis n kompleksinio skaičiaus laipsnis z Tai turi n skirtingos reikšmės, kurias nustato išraiška

Pavyzdys. Raskime.

Norėdami tai padaryti, kompleksinį skaičių () išreiškiame trigonometrine forma

.

Pagal kompleksinio skaičiaus šaknies apskaičiavimo formulę gauname

Kompleksinio skaičiaus logaritmas z yra skaičius w, kuriam . Natūralus kompleksinio skaičiaus logaritmas turi begalinį reikšmių skaičių ir apskaičiuojamas pagal formulę

Susideda iš tikrosios (kosinuso) ir menamos (sinuso) dalių. Toks įtempis gali būti pavaizduotas kaip ilgio vektorius Um, pradinė fazė (kampas), besisukanti kampiniu greičiu ω .

Be to, jei pridedamos sudėtingos funkcijos, pridedamos tikrosios ir įsivaizduojamos jų dalys. Jei sudėtinga funkcija padauginama iš konstantos arba tikrosios funkcijos, tai jos tikroji ir įsivaizduojama dalys dauginamos iš to paties koeficiento. Tokios sudėtingos funkcijos diferencijavimas / integravimas redukuojamas iki realių ir įsivaizduojamų dalių diferencijavimo / integravimo.

Pavyzdžiui, sudėtingos streso išraiškos diferencijavimas

yra padauginti iš iω yra tikroji funkcijos f(z) dalis ir yra įsivaizduojama funkcijos dalis. Pavyzdžiai: .

Reikšmė z yra pavaizduotas tašku kompleksinėje z plokštumoje ir atitinkama reikšme w- taškas kompleksinėje plokštumoje w. Kai rodoma w = f(z) plokštumos linijos z pereiti į plokštumos linijas w, vienos plokštumos figūras paverčia kitos figūromis, tačiau linijų ar figūrų formos gali labai pasikeisti.

Pamokos planas.

1. Organizacinis momentas.

2. Medžiagos pristatymas.

3. Namų darbai.

4. Pamokos apibendrinimas.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

II. Medžiagos pristatymas.

Motyvacija.

Realiųjų skaičių aibės išplėtimas susideda iš to, kad prie realių skaičių pridedami nauji skaičiai (įsivaizduojami). Šių skaičių įvedimas yra susijęs su tuo, kad neįmanoma išskirti šaknies iš neigiamo skaičiaus realiųjų skaičių aibėje.

Sudėtinio skaičiaus sąvokos įvedimas.

Įsivaizduojami skaičiai, kuriais papildome realiuosius skaičius, rašomi kaip bi, Kur i yra įsivaizduojamas vienetas ir i 2 = - 1.

Remdamiesi tuo, gauname tokį kompleksinio skaičiaus apibrėžimą.

Apibrėžimas. Kompleksinis skaičius yra formos išraiška a+bi, Kur a Ir b yra realūs skaičiai. Šiuo atveju tenkinamos šios sąlygos:

a) Du kompleksiniai skaičiai a 1 + b 1 i Ir a 2 + b 2 i lygus tada ir tik tada a 1 = a 2, b1=b2.

b) Kompleksinių skaičių sudėjimas nustatomas pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksinių skaičių daugyba nustatoma pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma.

Kompleksinio skaičiaus rašymas formoje a+bi vadinama kompleksinio skaičiaus algebrine forma, kur A- tikroji dalis bi yra įsivaizduojama dalis ir b yra tikrasis skaičius.

Sudėtingas skaičius a+bi laikomas lygiu nuliui, jei jo tikroji ir menamoji dalys yra lygios nuliui: a=b=0

Sudėtingas skaičius a+bi adresu b = 0 laikomi tikru skaičiumi a: a + 0i = a.

Sudėtingas skaičius a+bi adresu a = 0 vadinamas grynai įsivaizduojamu ir žymimas bi: 0 + bi = bi.

Du kompleksiniai skaičiai z = a + bi Ir = a – bi, kurie skiriasi tik įsivaizduojamos dalies ženklu, vadinami konjuguotais.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

Su kompleksiniais skaičiais algebrine forma galima atlikti šias operacijas.

1) Papildymas.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių suma z 1 = a 1 + b 1 i Ir z 2 = a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, kurio tikroji dalis lygi realiųjų dalių sumai z1 Ir z2, o menamoji dalis yra įsivaizduojamų skaičių dalių suma z1 Ir z2, tai yra z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Skaičiai z1 Ir z2 vadinami terminais.

Sudėtiniai skaičiai turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Sudėtingas skaičius -a -bi vadinamas kompleksinio skaičiaus priešingumu z = a + bi. Kompleksinis skaičius, priešingas kompleksiniam skaičiui z, pažymėta -z. Kompleksinių skaičių suma z Ir -z lygus nuliui: z + (-z) = 0

1 pavyzdys: pridėti (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Atimtis.

Apibrėžimas. Atimti iš kompleksinio skaičiaus z1 kompleksinis skaičius z2 z, Ką z + z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių skirtumas egzistuoja ir, be to, yra unikalus.

2 pavyzdys: atimti (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Daugyba.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių sandauga z 1 =a 1 +b 1 i Ir z 2 \u003d a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, apibrėžta lygybe: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Skaičiai z1 Ir z2 vadinami veiksniais.

Kompleksinių skaičių dauginimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 yra tikrasis skaičius.

Praktiškai kompleksiniai skaičiai dauginami pagal taisyklę, kad suma dauginama iš sumos ir atskiriama tikroji ir menama dalis.

Toliau pateiktame pavyzdyje apsvarstykite sudėtingų skaičių dauginimą dviem būdais: pagal taisyklę ir padauginus sumą iš sumos.

3 pavyzdys: padauginkite (2 + 3i) (5–7i).

1 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Padalijimas.

Apibrėžimas. Padalinkite kompleksinį skaičių z1 iki kompleksinio skaičiaus z2, reiškia rasti tokį kompleksinį skaičių z, Ką z z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių koeficientas egzistuoja ir yra unikalus, jei z2 ≠ 0 + 0i.

Praktiškai kompleksinių skaičių koeficientas randamas skaitiklį ir vardiklį padauginus iš vardiklio konjugato.

Leisti z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Tada

.

Toliau pateiktame pavyzdyje atliekame padalijimą pagal formulę ir daugybos iš vardiklio konjugato taisyklę.

4 pavyzdys. Raskite koeficientą .

5) Didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio.

a) Įsivaizduojamos vienybės galios.

Pasinaudojus lygybe i 2 \u003d -1, nesunku apibrėžti bet kokią teigiamą sveikąjį įsivaizduojamo vieneto galią. Mes turime:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 ir tt

Tai rodo, kad laipsnio reikšmės aš n, Kur n- teigiamas sveikasis skaičius, periodiškai kartojamas, kai rodiklis padidėja 4 .

Todėl norėdami padidinti skaičių i iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio padalykite eksponentą iš 4 ir stačias i laipsniui, kurio rodiklis yra dalybos liekana.

5 pavyzdys Apskaičiuokite: (i 36 + i 17) ir 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

b) Kompleksinio skaičiaus didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio vykdomas pagal dvinario didinimo iki atitinkamos laipsnio taisyklę, nes tai yra ypatingas identiškų kompleksinių veiksnių dauginimo atvejis.

6 pavyzdys Apskaičiuokite: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

14.3 Taškas begalybėje kaip kompleksinio kintamojo funkcijos vienaskaitos taškas

Pratarmė

Gana sunku teisingai paskirstyti laiką ir pastangas ruošiantis teorinei ir praktinei egzamino ar modulio atestacijos dalims, juolab, kad sesijos metu visada neužtenka laiko. Ir kaip rodo praktika, ne visi gali su tuo susidoroti. Dėl to vieni mokiniai per egzaminą teisingai sprendžia uždavinius, tačiau sunkiai atsako į paprasčiausius teorinius klausimus, kiti gali suformuluoti teoremą, bet nemoka jos pritaikyti.

Šios metodinės rekomendacijos, kaip pasirengti kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos (TFV) kurso egzaminui, yra bandymas išspręsti šį prieštaravimą ir užtikrinti vienu metu kurso teorinės ir praktinės medžiagos kartojimą. Vadovaujantis principu „Teorija be praktikos yra mirusi, praktika be teorijos akla“, juose pateikiamos tiek teorinės kurso pozicijos apibrėžimų ir formuluočių lygmeniu, tiek pavyzdžiai, iliustruojantys kiekvienos teorinės pozicijos taikymą, taigi ją paverčiantys. lengviau įsiminti ir suprasti.

Siūlomų metodinių rekomendacijų tikslas – padėti studentui pasiruošti egzaminui pagrindiniu lygiu. Kitaip tariant, buvo sudarytas išplėstinis darbo vadovas, kuriame pateikiami pagrindiniai TFKT kurso užsiėmimuose naudojami punktai, reikalingi atliekant namų darbus ir ruošiantis kontrolinei veiklai. Be savarankiško mokinių darbo, šis elektroninis edukacinis leidinys gali būti naudojamas vedant užsiėmimus interaktyvia forma naudojant elektroninę lentą arba talpinant nuotolinio mokymosi sistemoje.

Atkreipkite dėmesį, kad šis darbas nepakeičia vadovėlių ar paskaitų konspektų. Norint nuodugniai ištirti medžiagą, rekomenduojama kreiptis į atitinkamas Maskvos valstybiniame technikos universitete išleisto leidinio skyrius. N.E. Baumano pagrindinis vadovėlis.

Vadovo pabaigoje yra rekomenduojamos literatūros sąrašas ir dalykinė rodyklė, į kurią įtraukta visa, kas paryškinta tekste. paryškintas kursyvas terminai. Indeksą sudaro hipersaitai į skyrius, kuriuose šie terminai yra griežtai apibrėžti arba aprašyti, ir kur pateikiami pavyzdžiai, iliustruojantys jų vartojimą.

Vadovas skirtas visų MSTU fakultetų II kurso studentams. N.E. Baumanas.

1. Algebrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma

Formos z \u003d x + iy įrašymas, kur x, y yra tikrieji skaičiai, i yra įsivaizduojamas vienetas (t. y. i 2 = − 1)

vadinama kompleksinio skaičiaus z algebrine forma. Šiuo atveju x vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymimas Re z (x \u003d Re z), y vadinamas įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymimas Im z (y \u003d Im z).

Pavyzdys. Tikroji kompleksinio skaičiaus z = 4 − 3i dalis yra Re z = 4 , o menamoji dalis yra Im z = − 3 .

2. Kompleksinių skaičių plokštuma

IN svarstyti kompleksinio kintamojo funkcijų teorijaskompleksinių skaičių plokštuma, kuris žymimas arba, arba naudojamos raidės, žyminčios kompleksinius skaičius z, w ir kt.

Horizontalioji kompleksinės plokštumos ašis vadinama tikroji ašis, jame yra realieji skaičiai z = x + 0 i = x.

Vertikali kompleksinės plokštumos ašis vadinama įsivaizduojama ašimi, ji turi

3. Sudėtiniai konjuguoti skaičiai

Vadinami skaičiai z = x + iy ir z = x − iy kompleksinis konjugatas. Sudėtingoje plokštumoje jie atitinka taškus, kurie yra simetriški tikrosios ašies atžvilgiu.

4. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma

4.1 Kompleksinių skaičių sudėjimas

Taigi kompleksinių skaičių daugybos operacija yra panaši į algebrinių dvinarių daugybos operaciją, atsižvelgiant į tai, kad i 2 = − 1.

Prisiminkite reikiamą informaciją apie kompleksinius skaičius.

Sudėtingas skaičius yra formos išraiška a + bi, Kur a, b yra realūs skaičiai ir i- vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas yra -1, t.y. i 2 = -1. Skaičius a paskambino tikroji dalis, ir numerį b - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = a + bi. Jeigu b= 0, tada vietoj a + 0i rašyti paprastai a. Galima pastebėti, kad realieji skaičiai yra ypatingas kompleksinių skaičių atvejis.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir dalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, o daugyba – pagal taisyklę ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Reklama + bc)i(čia jis tiesiog naudojamas i 2 = -1). Skaičius = a – bi paskambino kompleksinis konjugatasĮ z = a + bi. Lygybė z · = a 2 + b 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:

(Pavyzdžiui, .)

Sudėtiniai skaičiai turi patogų ir vaizdinį geometrinį vaizdą: skaičių z = a + bi gali būti pavaizduotas kaip vektorius su koordinatėmis ( a; b) Dekarto plokštumoje (arba, kuri yra beveik tokia pati, taškas - vektoriaus galas su šiomis koordinatėmis). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti pagal lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( a; b) yra lygus . Ši vertė vadinama modulis kompleksinis skaičius z = a + bi ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumentas kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumentas neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant 2 kartotinį π radianų (arba 360°, jei skaičiuotum laipsniais) – juk aišku, kad tokiu kampu apsisukant aplink pradžią vektoriaus nepakeisi. Bet jei ilgio vektorius r sudaro kampą φ su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ ; r nuodėmė φ ). Todėl paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| (cos (Arg z) + i nuodėmė (Arg z)). Tokia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Sudėtinių skaičių padauginimas trigonometrine forma atrodo labai paprastas: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (Arg z 1+arg z 2) + i nuodėmė (Arg z 1+arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir argumentai pridedami). Iš čia sekti De Moivre formulės: z n = |z|n(cos ( n(Arg z)) + i nuodėmė ( n(Arg z))). Šių formulių pagalba lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. n-oji z šaknis yra toks sudėtingas skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku , Ir kur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n– 1). Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n laipsnis nuo kompleksinio skaičiaus (plokštumoje jie yra taisyklingojo skaičiaus viršūnėse n-gon).