Kaip suprasti, kad skaičius dalijasi iš 4. Dalinamumo požymiai, arba kad skaičiai nesidalijami

Daugelis žmonių prisimena iš mokyklos mokymo programos, kad yra padalijimo požymių. Ši frazė suprantama kaip taisyklės, leidžiančios greitai nustatyti, ar skaičius yra duoto kartotinis, neatliekant tiesioginės aritmetinės operacijos. Šis metodas grindžiamas veiksmais, atliktais naudojant dalį pozicijos įrašo skaitmenų

Daugelis žmonių prisimena paprasčiausius padalijimo ženklus iš mokyklos mokymo programos. Pavyzdžiui, tai, kad visi skaičiai dalijasi iš 2, kurių paskutinis įrašo skaitmuo yra lyginis. Šią savybę lengviausia įsiminti ir pritaikyti praktikoje. Jei mes kalbame apie dalijimo iš 3 metodą, tada daugialypiams skaičiams taikoma ši taisyklė, kurią galima parodyti tokiu pavyzdžiu. Turite sužinoti, ar 273 yra trijų kartotinis. Norėdami tai padaryti, atlikite šią operaciją: 2 + 7 + 3 = 12. Todėl gauta suma dalijasi iš 3, o 273 bus padalinta iš 3 taip, kad rezultatas būtų sveikasis skaičius.

Dalijimasis iš 5 ir 10 bus toks. Pirmuoju atveju įrašas baigsis skaitmenimis 5 arba 0, antruoju - tik su 0. Jei norite sužinoti, ar dividendas yra keturių kartotinis, turėtumėte elgtis taip. Būtina atskirti paskutinius du skaitmenis. Jei tai du nuliai arba skaičius, kuris dalijasi iš 4 be liekanos, tada visas dividendas bus daliklio kartotinis. Reikėtų pažymėti, kad išvardyti ženklai naudojami tik dešimtainėje sistemoje. Jie nenaudojami kitais skaičiavimo būdais. Tokiais atvejais išvedamos savos taisyklės, kurios priklauso nuo sistemos pagrindo.

Skirstymo iš 6 ženklai yra šie. 6, jei jis yra ir 2, ir 3 kartotinis. Norėdami nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 7, turite padvigubinti paskutinį jo įrašo skaitmenį. Rezultatas atimamas iš pradinio skaičiaus, kuriame nėra paskutinio skaitmens. Šią taisyklę galima pamatyti šiame pavyzdyje. Būtina išsiaiškinti, ar tai 364. kartotinis. Norėdami tai padaryti, 4 padauginamas iš 2, pasirodo 8. Tada atliekamas toks veiksmas: 36-8 = 28. Gautas rezultatas yra 7 kartotinis, todėl pradinį skaičių 364 galima padalyti iš 7.

Dalijimasis iš 8 yra toks. Jei paskutiniai trys skaitmenų įrašo skaitmenys sudaro skaičių, kuris yra aštuonių kartotinis, tada pats skaičius bus dalijamas iš duoto daliklio.

Galite sužinoti, ar daugiaženklis skaičius dalijasi iš 12, kaip nurodyta toliau. Naudojant aukščiau išvardintus padalijimo kriterijus, būtina išsiaiškinti, ar skaičius yra 3 ir 4 kartotinis. Jei jie vienu metu gali veikti kaip skaičiaus dalikliai, tada, turėdami nurodytą dividendą, taip pat galite padalyti iš 12. taisyklė taikoma kitiems sudėtingiems skaičiams, pavyzdžiui, penkiolikai. Tokiu atveju dalikliai turėtų būti 5 ir 3. Norėdami sužinoti, ar skaičius dalijasi iš 14, turėtumėte pamatyti, ar jis yra 7 ir 2 kartotinis. Taigi, galite tai apsvarstyti šiame pavyzdyje. Būtina nustatyti, ar 658 galima padalyti iš 14. Paskutinis įrašo skaitmuo yra lyginis, todėl skaičius yra dviejų kartotinis. Tada dauginame 8 iš 2, gauname 16. Iš 65 reikia atimti 16. Rezultatas 49 padalijamas iš 7, kaip ir visas skaičius. Todėl 658 taip pat galima padalyti iš 14.

Jei paskutiniai du skaitmens skaitmenys dalijasi iš 25, tada visi jie bus šio daliklio kartotiniai. Daugiaženklių skaičių dalinamumo ženklas iš 11 skambės taip. Būtina išsiaiškinti, ar skirtumas tarp skaičių, esančių nelyginėse ir lyginėse jo įrašo vietose, yra duoto daliklio kartotinis.

Reikėtų pažymėti, kad skaičių dalijimosi ženklai ir jų žinojimas labai dažnai labai supaprastina daugelį problemų, su kuriomis susiduriama ne tik matematikoje, bet ir kasdieniame gyvenime. Dėl galimybės nustatyti, ar skaičius yra kartotinis, galite greitai atlikti įvairias užduotis. Be to, šių metodų naudojimas matematikos klasėje padės tobulėti studentams ar moksleiviams, prisidės prie tam tikrų gebėjimų ugdymo.

Skaičių padalijimo kriterijus sunku taikyti, nes jų yra daug. Tačiau žinant tokius ženklus žymiai sutaupomas laikas, nes tai leidžia neskaidant išsiaiškinti, ar vienas skaičius yra padalintas iš kito, ar ne. Supraskime temą išsamiau.

Kas yra padalijimas?

Padalijimo testai leidžia greitai ir lengvai nustatyti, ar įmanoma visiškai padalyti vieną skaičių iš kito. O padalijamumas yra galimybė padalinti vieną skaičių iš kito be likučio.

Dalinamumo kriterijai

Padalintumo testus patogiau tirti skirstant galimus daliklius į grupes. Padarykime tą patį ir apsvarstykime kiekvienos grupės padalijimą atskirai.

2.4.8

Šie numeriai šiame numeryje yra sugrupuoti, nes jų ženklai yra labai panašūs vienas į kitą.

• Skaičius dalijasi iš 2 tik tuo atveju, jei jis yra lyginis.
• Skaičius dalijasi iš 4, jei paskutiniai du skaitmens skaitmenys dalijasi iš 4 arba du paskutiniai skaitmenys yra 00. Pavyzdžiui, 130 nėra dalijamas iš 4, nes 30 nesidalija iš 4. Tačiau 1400 galima padalyti iš 4 4.
• Skaičius dalijasi iš 8, jei paskutiniai du jo skaitmenys yra nuliai arba dalijasi iš 8

3 ir 9 val

Skaičius dalijasi iš 3, jei šio skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3. Apsvarstykite skaičių: 804. Jis dalijasi iš 3, nes skaitmenų suma 8 + 0 + 4 = 12 dalijasi iš 3.

Skaičius dalijasi iš 9, jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 9. Ženklas yra panašus į dalijimosi iš skaičiaus 3 ženklą.
Įdomu: jei skaičius dalijasi iš 9, tai jis taip pat dalijasi iš 3. Be to, skaičius, kuris dalijasi iš 3, ne visada dalijasi iš 9.

5 val

Skaičius dalijasi iš 5, jei paskutinis skaitmuo yra 5 arba nulis. Tai yra geriausiai žinomas padalijimo kriterijus kartu su dalijimu iš 2.

6

Kad skaičius būtų padalintas iš 6, jis turi būti padalintas iš 2 ir 3, nes 2 * 3 = 6. Todėl dalijimosi iš 6 ženklas yra padalijimo iš 2 ir 3 ženklų derinys.

Tai yra: skaičius dalijasi iš 6, jei jis lygus ir visų jo skaitmenų suma dalijasi iš 3

7 val

Sunkiausiai suprantami dalijimosi iš 7 ir 11 požymiai. Skaičius dalijasi iš 7, jei skirtumas tarp lyginių skaitmenų skaitmenų ir nelyginių skaičių skaičių dalijasi iš 7.

Pavyzdžiui, 469 dalijasi iš 7. Kodėl? Skaitmenų suma nelyginėse pozicijose yra 4 + 9 = 13. Lygių pozicijų skaičių suma yra 6. Gautų sumų skirtumas: 13-6 = 7, o šis skaičius dalijasi iš 7. Todėl visas skaičius 469 dalijasi iš 7

10 dieną

Skaičius dalijasi iš 10 tik tuo atveju, jei paskutinis skaitmuo yra 0

Tuo pačiu principu nustatomas ir skaičiaus padalijimas iš 100, 1000 ir pan. Jei skaičiaus pabaigoje yra du nuliai, tai jis dalijasi iš 100, jei pabaigoje yra trys nuliai, skaičius dalijasi iš 1000 ir pan.

11 val

Skaičius dalijasi iš 11 tik tuo atveju, jei skirtumas tarp lyginių ir nelyginių skaitmenų skaičių yra dalijamas iš 11 arba lygus nuliui. Pateiksime pavyzdį:

Skaičius 2035 dalijasi iš 11. Skaitmenų suma lygiose pozicijose: 2 + 3 = 5. Nelyginių skaitmenų suma: 0 + 5 = 5. Skirtumas tarp gautų išraiškų: 5-5 = 0, o tai reiškia, kad skaičius dalijasi iš 11.

Lygios pozicijos ir lyginio skaičiaus sąvokos nereikėtų painioti. Skaitmuo yra ženklas, naudojamas skaičiams rašyti. Skaičius yra skaitmenų rinkinys, kurių kiekvienas stovi savo pozicijoje. Skaičiuje 127 yra tik trys skaitmenys. Skaičius 1 yra pirmoje pozicijoje, skaičius 2 - antroje ir pan. Lygi padėtis yra skaičius 2. Nelyginės pozicijos yra skaičiai 1 ir 7.

Norėdami greitai įsiminti visas grupes, galite apibendrinti skaičių padalijimo požymių lentelę.

Ko mes išmokome?

Mes kalbėjome apie padalijimo kriterijus. Grupėmis apibūdino visus esamus ženklus. Buvo pateikti pavyzdžiai ypač sudėtingose ​​situacijose.

Testas pagal temą

Straipsnio įvertinimas

Vidutinis reitingas: 4. Bendras įvertinimas: 282.

Pradėkime svarstyti temą „Padalinamumas iš 4“. Pateikiame kriterijaus formuluotę, įrodome, nagrinėjame pagrindinius problemų pavyzdžius. Skilties pabaigoje surinkome informaciją apie metodus, kurie gali būti naudojami tais atvejais, kai turime įrodyti skaičių padalijimą iš 4 pagal abėcėlinę išraišką.

Dalijimasis iš 4, pavyzdžiai

Mes galime eiti paprastu keliu ir padalinti vienaženklį natūralųjį skaičių iš 4, kad patikrintume, ar šis skaičius dalijasi iš 4 be liekanos. Tą patį galite padaryti su dviženkliu, trijų skaitmenų ir kt. skaičių. Tačiau kuo didesni skaičiai, tuo sunkiau su jais atlikti veiksmus, kad būtų galima patikrinti jų padalijimą iš 4.

Padaro daug lengviau naudoti dalinamumo pagal 4 kriterijų. Tai reiškia, kad reikia patikrinti vieno ar dviejų paskutinių sveikųjų skaičių skaitmenų padalijimą iš 4. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad kai kurie skaičiai a dalijasi iš 4, jei vienas ar du dešiniausi skaitmenys skaičiaus a žymėjime dalijasi iš 4. Jei skaičius a, sudarytas iš dviejų dešiniausių skaitmenų, užrašytų skaičiumi a, nesidalija iš 4 be likučio, tai skaičius a nedalijamas iš 4 be liekanos.

1 pavyzdys

Kuris iš skaičių 98 028, 7 612 ir 999 888 777 ar dalijasi iš 4?

Sprendimas

Dešiniausi skaitmenų skaitmenys − 98 028, 7 612 yra skaičiai 28 ir 12, kurie dalijami iš 4 be liekanos. Tai reiškia, kad visi skaičiai − 98 028, 7 612 dalijasi iš 4 be likučių.

Paskutiniai du skaičiaus skaitmenys 999 888 777 suformuokite skaičių 77, kuris be likučio nesidalija iš 4. Tai reiškia, kad pradinis skaičius nesidalija iš 4 be likučio.

Atsakymas:- 98 028 ir 7 612.

Jei priešpaskutinis skaitmenų įrašo skaitmuo yra 0, tada mes turime numesti šį nulį ir pažvelgti į likusius dešiniausius įrašo skaitmenis. Pasirodo, kad du skaitmenis 01 pakeičiame 1. Ir jau vienu likusiu skaitmeniu darome išvadą, ar pradinis skaičius dalijasi iš 4.

2 pavyzdys

Ar skaičiai dalijasi 75 003 ir − 88 108 iki 4?

Sprendimas

Paskutiniai du skaičiaus skaitmenys 75 003 - mes matome 03 ... Jei mes nukritome nulį, tada mes paliekame skaičių 3, kuris nesidalija iš 4 be likučio. Tai reiškia, kad pirminis skaičius 75 003 be likučio nesidalija iš 4.

Dabar paimkime paskutinius du skaitmens skaitmenis − 88 108 ... Tai yra 08, iš kurių turime palikti tik paskutinį skaičių 8. 8 dalijasi iš 4 be liekanos.

Tai reiškia, kad pirminis skaičius − 88 108 mes galime padalinti iš 4 be liekanos.

Atsakymas: 75 003 nėra dalijamas iš 4, bet − 88 108 - akcijos.

Skaičiai, kurių įrašo pabaigoje yra du nuliai, taip pat dalijami iš 4 be liekanos. Pavyzdžiui, 100 padalijus iš 4 yra 25. Taisyklė padauginti skaičių iš 100 leidžia įrodyti šio teiginio teisingumą.

Mes atstovaujame savavališkai pasirinktą daugialypį skaičių a, kurio įvestis dešinėje baigiasi dviem nuliais, kaip produktas 1 100 kur skaičius a 1 gaunamas iš skaičiaus a, jei jo žymėjime dešinėje yra atmesti du nuliai. Pavyzdžiui, 486700 = 4867100.

Darbas 1 100 yra 100, kuris dalijasi iš 4. Tai reiškia, kad visas produktas dalijasi iš 4.

Dalijimosi iš 4 įrodymas

Mes atstovaujame bet kokį natūralų skaičių a lygybės pavidalu a = a 1 100 + a 0 kur skaičius a 1 Ar skaičius a, iš įrašo, kurio paskutiniai du skaitmenys buvo pašalinti, ir skaičių a 0- tai yra du dešinieji skaitmenų įrašo skaitmenys a... Jei naudosite konkrečius natūralius skaičius, lygybė atrodys neapibrėžta. Vieno ir dviejų skaitmenų skaičiams a = a 0.

1 apibrėžimas

Dabar pereikime prie padalijimo savybių:

• dalijant skaičiaus modulį a skaičiaus b modulis yra būtinas ir pakankamas sveikam skaičiui a padalintas iš sveikojo skaičiaus b;
• jei lygybėje a = s + t visos sąlygos, išskyrus vieną, dalijasi iš kokio nors sveikojo skaičiaus b, tai šis likęs terminas dalijasi iš b.

Dabar, atnaujinę būtinas dalinamumo savybes, mes iš naujo formuluojame dalijimosi iš 4 kriterijaus įrodymą kaip būtiną ir pakankamą dalijimosi iš 4 sąlygą.

1 teorema

Paskutinius du skaitmenis skaičiaus a žymėjime padalyti iš 4 yra būtina ir pakankama sąlyga sveikam skaičiui a padalyti iš 4.

Įrodymas 1

Tariant, kad a = 0, tada teoremai įrodymų nereikia. Visiems kitiems sveikiesiems skaičiams a naudosime skaičiaus a modulį, kuris yra teigiamas skaičius: a = a 1 100 + a 0

Atsižvelgiant į tai, kad darbas 1 100 visada dalijasi iš 4, taip pat atsižvelgiant į aukščiau pateiktas dalinamumo savybes, galime padaryti tokį teiginį: jei skaičius a dalijasi iš 4, tada skaičiaus a modulis dalijasi iš 4, tada iš lygybė a = a 1 100 + a 0 reiškia, kad a 0 dalijasi iš 4. Taip įrodėme būtinybę.

Iš lygybės a = a 1 100 + a 0 išplaukia, kad modulis a dalijasi iš 4. Tai reiškia, kad pats skaičius a dalijasi iš 4. Taip įrodėme pakankamumą.

Kiti dalijimosi iš 4 atvejai

Apsvarstykite atvejus, kai turime nustatyti sveikojo skaičiaus, kurį suteikia tam tikra išraiška, padalijimą iš 4, kurio vertę reikia apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, galime eiti šiuo keliu:

• pateikti pirminę išraišką kaip kelių veiksnių sandaugą, iš kurių vienas bus padalintas iš 4;
• padarykite išvadą, pagrįstą dalinamumo savybe, kuria dalijasi visa pradinė išraiška
  4 .

Binominė Niutono formulė dažnai padeda išspręsti problemą.

3 pavyzdys

Ar išraiškos reikšmė 9 n - 12 n + 7 dalijasi iš 4 kai kuriems natūraliesiems? n?

Sprendimas

Mes galime pavaizduoti 9 kaip 8 + 1 sumą. Tai suteikia mums galimybę taikyti Niutono binominę formulę:

9 n - 12 n + 7 = 8 + 1 n - 12 n + 7 = = C n 0 8 n + C n 1 8 n - 1 1 +. ... ... + C nn - 2 8 2 1 n - 2 + C nn - 1 8 1 n - 1 + C nn 1 n - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 8 n - 1 · 1 +. ... ... + C n n - 2 8 2 + n 8 + 1 - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 8 n - 1 1 +. ... ... + C n n - 2 8 2 - 4 n + 8 = = 4 2 8 n - 1 + 2 C n 1 8 n - 2 +. ... ... + 2 C n n - 2 8 1 - n + 2

Produkto, kurį gavome transformacijų metu, koeficientas yra 4, o išraiška skliausteliuose yra natūralus skaičius. Tai reiškia, kad šį darbą galima padalinti iš 4 be likučio.

Galime teigti, kad pradinė išraiška 9 n - 12 n + 7 dalijasi iš 4 bet kuriam natūraliam n.

Atsakymas: Taip.

Mes taip pat galime taikyti matematinės indukcijos metodą problemos sprendimui. Kad nesiblaškytumėte nuo smulkių sprendimo analizavimo detalių, paimkime ankstesnį pavyzdį.

4 pavyzdys

Įrodykite, kad 9 n - 12 n + 7 dalijasi iš 4 bet kuriam natūraliajam skaičiui n.

Sprendimas

Pradėkime nuo to nustatymo, kai vertė n = 1 išraiškos reikšmė 9 n - 12 n + 7
galima padalinti iš 4 be likučių.

Gauname: 9 1 - 12 1 + 7 = 4. 4 dalijasi iš 4 be liekanos.

Dabar galime manyti, kad su verte n = k išraiškos vertė
9 n - 12 n + 7 bus dalijami iš 4. Tiesą sakant, mes dirbsime su išraiška 9 k - 12 k + 7, kuri turi būti padalinta iš 4.

Turime įrodyti, kad 9 n - 12 n + 7 n = k + 1 bus padalintas iš 4, atsižvelgiant į tai, kad 9 k - 12 k + 7 dalijasi iš 4:

9 k + 1 - 12 (k + 1) + 7 = 9 9 k - 12 k - 5 = 9 9 k - 12 k + 7 + 96 k - 68 = = 9 9 k - 12 k + 7 + 4 24 k - 17

Gavome sumą, kurioje pirmasis narys 9 9 k - 12 k + 7 dalijasi iš 4, nes manome, kad 9 k - 12 k + 7 dalijasi iš 4, o antrasis 4 24 k - 17 yra daugiklis 4, todėl taip pat dalijasi iš 4. Tai reiškia, kad visa suma dalijasi iš 4.

Atsakymas: mes įrodėme, kad matematinės indukcijos būdu 9 n - 12 n + 7 dalijasi iš 4 bet kuriai n natūraliajai vertei.

Mes galime naudoti kitą metodą, norėdami įrodyti, kad kai kuri išraiška dalijasi iš 4. Šis metodas numato:

• įrodymas, kad tam tikros išraiškos su kintamuoju n vertė dalijasi iš 4, kai n = 4 m, n = 4 m + 1, n = 4 m + 2 ir n = 4 m + 3, kur m- sveikasis skaičius;
• išvada apie šios išraiškos dalinamumo iš 4 bet kurio sveikojo skaičiaus n įrodymą.

Įrodykite, kad bet kurio sveikojo skaičiaus išraiškos n n 2 + 1 n + 3 n 2 + 4 reikšmė n dalijasi iš 4.

Sprendimas

Tariant, kad n = 4 m, mes gauname:

4 m 4 m 2 + 1 4 m + 3 4 m 2 + 4 = 4 m 16 m 2 + 1 4 m + 3 4 4 m 2 + 1

Gautame produkte yra koeficientas 4, visus kitus veiksnius vaizduoja sveikieji skaičiai. Tai suteikia pagrindo manyti, kad visas darbas yra padalintas iš 4.

Tariant, kad n = 4 m + 1, mes gauname:

4 m + 1 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 + 3 4 m + 1 2 + 4 = = (4 m 1) + 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 4 m + 1 2 + 4

Ir vėl darbe, kurį gavome per pertvarkas,
yra koeficientas 4.

Tai reiškia, kad išraiška dalijasi iš 4.

Jei darytume prielaidą, kad n = 4 m + 2, tada:

4 m + 2 4 m + 2 2 + 1 4 m + 2 + 3 4 m + 2 2 + 4 = = 2 2 m + 1 16 m 2 + 16 m + 5 (4 m + 5) 8 (2 m 2 + 2 m + 1)

Čia gaminyje gavome daugiklį 8, kurį be likučio galima padalyti iš 4. Tai reiškia, kad visas darbas dalijamas iš 4.

Jei manome, kad n = 4 m + 3, gauname:

4 m + 3 4 m + 3 2 + 1 4 m + 3 + 3 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 2 8 m 2 + 12 m + 5 2 2 m + 3 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 4 m + 3 8 m 2 + 12 m + 5 16 m 2 + 24 m + 13

Produkte yra daugiklis 4, o tai reiškia, kad jis dalijasi iš 4 be likučio.

Atsakymas: mes įrodėme, kad pradinė išraiška dalijasi iš 4 bet kuriam n.

Jei pastebėjote teksto klaidą, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Kūrinio tekstas pateikiamas be vaizdų ir formulių.
Pilną kūrinio versiją rasite PDF formato skirtuke „Darbo failai“

Matematikos pamokose, studijuojant temą „Padalinamumo ženklai“, kur susipažinome su dalinamumo 2 ženklais; 5; 3; devyni; 10, mane domino, ar yra dalijimosi kitais skaičiais požymių, ir ar yra universalus dalijimosi iš bet kurio natūralaus skaičiaus metodas. Todėl pradėjau tiriamąjį darbą šia tema.

Tyrimo tikslas: natūraliųjų skaičių dalijimosi iki 100 požymių tyrimas, visiškai pridedami jau žinomi natūraliųjų skaičių dalijimosi požymiai, mokėsi mokykloje.

Norint pasiekti tikslą, užduotys:

Rinkti, studijuoti ir sisteminti medžiagą apie natūraliųjų skaičių dalijimosi požymius, naudojant įvairius informacijos šaltinius.

Raskite universalų dalijimosi iš bet kurio natūralaus skaičiaus kriterijų.

Išmokite naudoti Paskalio dalinamumo testą, kad nustatytumėte skaičių padalijimą, taip pat pabandykite suformuluoti dalijimosi bet kokiu natūraliu skaičiumi testus.

Studijų objektas: natūraliųjų skaičių dalijamumas.

Studijų dalykas: natūraliųjų skaičių padalijimo kriterijai.

Tyrimo metodai: informacijos rinkimas; darbas su spausdinta medžiaga; analizė; sintezė; analogija; apklausa; apklausa; medžiagos sisteminimas ir apibendrinimas.

Tyrimo hipotezė: Jei įmanoma nustatyti natūraliųjų skaičių dalijimąsi iš 2, 3, 5, 9, 10, tada turi būti požymių, pagal kuriuos galima nustatyti natūraliųjų skaičių dalijimąsi iš kitų skaičių.

Naujovė Atliekamas tiriamasis darbas susideda iš to, kad šis darbas susistemina žinias apie dalinamumo kriterijus ir universalų natūraliųjų skaičių padalijimo metodą.

Praktinė reikšmė: šio tiriamojo darbo medžiaga gali būti naudojama 6 - 8 klasėse pasirenkamose klasėse, studijuojant temą „Skaičių padalijamumas“.

I skyrius Skaičių dalinamumo apibrėžimas ir savybės

1.1.Dalumo sąvokų apibrėžimai ir dalijimosi kriterijai, dalinamumo savybės.

Skaičių teorija yra matematikos šaka, tirianti skaičių savybes. Pagrindinis skaičių teorijos objektas yra natūralūs skaičiai. Pagrindinė jų savybė, kuri laikoma skaičių teorija, yra padalijimas. Apibrėžimas: Sveikasis skaičius dalijasi iš sveikojo skaičiaus b, kuris nėra lygus nuliui, jei yra sveikasis skaičius k toks, kad a = bk (pavyzdžiui, 56 dalijasi iš 8, nes 56 = 8x7). Dalinamumo kriterijus- taisyklė, leidžianti nustatyti, ar duotas natūralusis skaičius tolygiai dalijasi iš kai kurių kitų skaičių, t.y. be likučio.

Dalinamumo savybės:

Bet koks skaičius, išskyrus nulį, dalijasi pats.

Nulis dalijasi iš bet kurio b, kuris nėra nulis.

Jei a dalijasi iš b (b0), o b dalijasi iš c (c0), tai a dalijasi iš c.

Jei a dalijasi iš b (b0), o b dalijasi iš a (a0), tai skaičiai a ir b yra lygūs arba priešingi.

1.2. Sumos ir produkto dalinamumo savybės:

Jei sveikųjų skaičių sumoje kiekvienas terminas dalijasi iš tam tikro skaičiaus, tada suma padalijama iš šio skaičiaus.

2) Jei, esant sveikųjų skaičių skirtumui, atimtas ir atimtas skaičius dalijasi iš tam tikro skaičiaus, tai skirtumas taip pat dalijasi iš tam tikro skaičiaus.

3) Jei sveikųjų skaičių sumoje visi terminai, išskyrus vieną, dalijami iš tam tikro skaičiaus, tai suma iš šio skaičiaus nesidalija.

4) Jei sveikųjų skaičių sandauga vienas iš veiksnių dalijasi iš tam tikro skaičiaus, tai sandauga taip pat dalijasi iš šio skaičiaus.

5) Jei sveikųjų skaičių sandaugoje vienas iš veiksnių dalijasi iš m, o kitas - iš n, tai sandauga dalijasi iš mn.

Be to, studijuodama skaičių dalinamumo kriterijus, susipažinau su sąvoka "Skaitmeninė šaknis"... Paimkime natūralų skaičių. Raskime jo skaitmenų sumą. Rezultate taip pat rasime skaičių skaičių ir taip toliau, kol gausime vienaženklį skaičių. Rezultatas vadinamas skaitmenine skaičiaus šaknimi. Pavyzdžiui, skaitmeninė 654321 šaknis yra 3: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21,2 + 1 = 3. Ir dabar galite pagalvoti apie klausimą: „Kokie yra dalijimosi kriterijai ir ar yra universalus kriterijus, leidžiantis padalinti vieną skaičių iš kito?“.

II skyrius. Natūralių skaičių dalinamumo testai.

2.1. Dalinamumo kriterijai iš 2,3,5,9,10.

Tarp dalinamumo ženklų patogiausi ir žinomiausi iš 6 klasės mokyklos matematikos kurso yra šie:

Dalijimasis iš 2. Jei natūralaus skaičiaus įrašas baigiasi lyginiu skaitmeniu arba nuliu, tada skaičius padalijamas iš 2. Skaičius 52738 padalijamas iš 2, nes paskutinis skaitmuo yra lygus 8.

Dalijimasis iš 3 ... Jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai skaičius taip pat dalijasi iš 3 (567 dalijasi iš 3, nes 5 + 6 + 7 = 18, o 18 dalijasi iš 3).

Dalijimasis iš 5. Jei natūralaus skaičiaus įrašymas baigiasi skaičiumi 5 arba nulis, tada skaičius padalijamas iš 5 (skaičius 130 ir 275 dalijasi iš 5, nes paskutiniai skaitmenų skaitmenys yra 0 ir 5, bet skaičius 302 nesidalija iš 5, nes paskutiniai skaitmenys nėra 0 ir 5).

Dalijimasis iš 9. Jei skaitmenų suma dalijasi iš 9, tai skaičius taip pat dalijasi iš 9 (676332 dalijasi iš 9, nes 6 + 7 + 6 + 3 + 3 + 2 = 27, o 27 dalijasi iš 9).

Dalijimasis iš 10 ... Jei natūralaus skaičiaus įrašymas baigiasi skaitmeniu 0, šis skaičius padalijamas iš 10 (230 yra padalintas iš 10, nes paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 0).

2.2 Dalinamumo kriterijai iš 4,6,8,11,12,13 ir kt.

Dirbdamas su įvairiais šaltiniais, atradau kitus dalybos kriterijus. Aprašysiu kai kuriuos iš jų.

Padalijimas iš 6 ... Turime patikrinti mus dominančio skaičiaus padalijimą iš 2 ir 3. Skaičius dalijasi iš 6 tik tada ir tik tada, kai jis yra lyginis, o jo skaitmeninė šaknis dalijasi iš 3 (pvz., 678 dalijasi iš 6 , nes jis yra lyginis ir 6 + 7 + 8 = 21, 2 + 1 = 3) Kitas dalijimosi ženklas: skaičius dalijasi iš 6 tik tada ir tik tada, kai keturių kartų dešimčių skaičius, pridėtas prie skaičių, dalijasi iš 6 . (73,7 * 4 + 3 = 31, 31 nesidalija iš 6, taigi 7 nesidalija iš 6.)

Padalijimas iš 8. Skaičius dalijasi iš 8 tik tada ir tik tada, kai paskutiniai trys jo skaitmenys sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 8. (12 224 dalijasi iš 8, nes 224: 8 = 28). Trijų skaitmenų skaičius dalijasi iš 8 tik tada ir tik tuo atveju, jei skaičius, pridėtas prie dvigubų dešimčių ir keturių šimtų, dalijasi iš 8. Pavyzdžiui, 952 dalijasi iš 8, nes 8 dalijasi iš 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48 ...

Padalijimas iš 4 ir 25. Jei paskutiniai du skaitmenys yra nuliai arba išreiškia skaičių, dalijamą iš 4 arba (ir) iš 25, tai skaičius dalijasi iš 4 arba (ir) iš 25 (skaičius 1500 dalijasi iš 4 ir 25, nes baigiasi dviem nuliai, skaičius 348 dalijasi iš 4, nes 48 dalijasi iš 4, tačiau šis skaičius nedalijamas iš 25, nes 48 nesidalija iš 25, skaičius 675 dalijasi iš 25, nes 75 dalijasi iš 25, bet nesidalija iš 4, ty .k. 75 nėra 4 kartotinis).

Žinodami pagrindinius dalijimosi pagal pirminius skaičius kriterijus, galime išvesti dalijimosi į sudėtinius skaičius kriterijus:

Padalinamumas pagal11 . Jei skirtumas tarp lyginių vietų skaičių ir nelyginių vietų skaičių sumos dalijasi iš 11, tai skaičius dalijasi iš 11 (skaičius 593868 dalijasi iš 11, nes 9 + 8 + 8 = 25, o 5 + 3 + 6 = 14, jų skirtumas yra 11, o 11 dalijasi iš 11).

Dalijimasis iš 12: skaičius dalijasi iš 12 tik tada ir tik tada, kai paskutiniai du skaitmenys dalijasi iš 4, o skaitmenų suma dalijasi iš 3.

nuo 12 = 4 ∙ 3, t.y. skaičius turi būti padalintas iš 4 ir 3.

Dalijimasis iš 13: Skaičius dalijasi iš 13 tik tada ir tik tada, kai kintamoji skaičių suma, sudaryta iš tam tikro skaičiaus skaitmenų trigubų skaičių, yra padalinta iš 13. Kaip žinote, pavyzdžiui, kad skaičius 354862625 dalijasi iš 13? 625-862 + 354 = 117 dalijasi iš 13, 117: 13 = 9, o tai reiškia, kad skaičius 354862625 dalijasi iš 13.

Dalijimasis iš 14: skaičius dalijasi iš 14 tik tada ir tik tada, kai jis baigiasi lyginiu skaitmeniu ir kai rezultatas, atėmus paskutinį dvigubą skaitmenį iš šio skaičiaus be paskutinio skaitmens, dalijasi iš 7.

nuo 14 = 2 ∙ 7, t.y. skaičius turi būti padalintas iš 2 ir 7.

Dalijimasis iš 15: skaičius dalijasi iš 15 tik tada ir tik tada, kai jis baigiasi 5 ir 0, o skaitmenų suma dalijasi iš 3.

nuo 15 = 3 ∙ 5, t.y. skaičius turi būti padalintas iš 3 ir 5.

Dalijimasis iš 18: skaičius dalijasi iš 18 tik tada ir tik tada, kai jis baigiasi lyginiu skaitmeniu, o jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.

nes 18 = 2 ∙ 9, t.y. skaičius turi būti padalintas iš 2 ir 9.

Dalijimasis iš 20: skaičius dalijasi iš 20 tik tada ir tik tada, kai skaičius baigiasi 0, o priešpaskutinis skaitmuo yra lyginis.

nuo 20 = 10 ∙ 2 t.y. skaičius turi būti padalintas iš 2 ir 10.

Dalijimasis iš 25: skaičius, kurį sudaro bent trys skaitmenys, dalijasi iš 25 tik tada ir tik tada, kai iš paskutinių dviejų skaitmenų sudarytas skaičius dalijasi iš 25.

Padalinamumas pagal30 .

Padalinamumas pagal59 . Skaičius dalijasi iš 59 tik tada ir tik tada, kai dešimčių skaičius, pridėtas prie vienetų skaičiaus, padaugintas iš 6, dalijasi iš 59. Pavyzdžiui, 767 padalijamas iš 59, nes 59 dalijasi iš 76 + 6 * 7 = 118 ir 11 + 6 * 8 = 59.

Padalinamumas pagal79 ... Skaičius dalijasi iš 79 tik tada ir tik tada, kai dešimčių skaičius, pridėtas prie skaičių, padaugintų iš 8, dalijasi iš 79. Pavyzdžiui, 711 dalijasi iš 79, nes 79 dalijasi iš 71 + 8 * 1 = 79.

Padalinamumas pagal99. Skaičius dalijasi iš 99 tik tada ir tik tada, kai skaičių, sudarančių dvi skaitmenis (pradedant vienetais), suma padalinta iš 99. Pavyzdžiui, 12573 dalijasi iš 99, nes 99 dalijasi iš 1 + 25 + 73 = 99.

Padalinamumas pagal100 . Tik tie skaičiai, kurių paskutiniai du skaitmenys yra nuliai, dalijasi iš 100.

Dalijimasis iš 125: skaičius, kurį sudaro ne mažiau kaip keturi skaitmenys, dalijasi iš 125 tik tada ir tik tada, kai iš paskutinių trijų skaitmenų sudarytas skaičius dalijasi iš 125.

Visos aukščiau išvardytos savybės yra apibendrintos lentelės pavidalu. (1 priedas)

2.3 Dalinamumo kriterijai iš 7.

1) Paimkite testavimui skaičių 5236. Parašykime šį skaičių taip: 5236 = 5 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6 = 10 3 * 5 + 10 2 * 2 + 10 * 3 + 6 ("sistemingas »Skaičiaus žymėjimo forma), o visur bazė 10 pakeičiama 3 baze; 3 3 * 5 + З 2 * 2 + 3 * 3 + 6 = 168. Jei gautas skaičius dalijasi (nedalijamas) iš 7, tai šis skaičius dalijasi (nedalijamas) iš 7. Kadangi 168 dalijasi iš 7, tada 5236 dalijasi iš 7,68: 7 = 24, 5236: 7 = 748.

2) Naudodami šią funkciją turite elgtis lygiai taip pat, kaip ir ankstesnėje, vienintelis skirtumas yra tas, kad dauginimas turėtų prasidėti nuo kraštutinės dešinės ir daugintis ne iš 3, o iš 5. (5236 dalijasi iš 7, nuo 6 * 5 3 + 3 * 5 2 + 2 * 5 + 5 = 840, 840: 7 = 120)

3) Šis ženklas yra mažiau lengvai įgyvendinamas mintyse, tačiau jis taip pat yra labai įdomus. Padvigubinkite paskutinį skaitmenį ir atimkite antrąjį iš dešinės, padvigubinkite rezultatą ir pridėkite trečiąjį iš dešinės ir pan., Pakaitomis atimdami ir pridėdami, o kiekvieną rezultatą, jei įmanoma, sumažindami 7 arba padauginę iš septynių. Jei galutinis rezultatas dalijasi (nedalijamas) iš 7, tai išbandytas skaičius taip pat dalijasi (nedalijamas) iš 7. ((6 * 2-3) * 2 + 2) * 2-5 = 35, 35: 7 = 5.

4) Skaičius dalijasi iš 7 tik tada ir tik tada, kai kintamoji skaičių suma, sudaryta iš tam tikro skaičiaus skaitmenų trigubų skaičių, yra padalinta iš 7. Kaip žinote, pavyzdžiui, kad skaičius 363862625 dalijasi iš 7? 625-862 + 363 = 126 dalijasi iš 7, 126: 7 = 18, o tai reiškia, kad skaičius 363862625 dalijasi iš 7, 363862625: 7 = 51980375.

5) Vienas iš seniausių dalijimosi iš 7 kriterijų yra toks. Skaičiaus skaitmenys turi būti imami atvirkštine tvarka, iš dešinės į kairę, pirmąjį skaičių padauginus iš 1, antro iš 3, trečio iš 2, ketvirto iš -1, penktą iš -3, šeštą iš - 2 ir kt. (jei simbolių skaičius didesnis nei 6, veiksnių seka 1, 3, 2, -1, -3, -2 turi būti kartojama tiek kartų, kiek reikia). Gautus darbus reikia sulankstyti. Pradinis skaičius dalijasi iš 7, jei apskaičiuota suma padalijama iš 7. Pavyzdžiui, tai šis ženklas suteikia skaičiui 5236. 1 * 6 + 3 * 3 + 2 * 2 + 5 * (- 1) = 14. 14: 7 = 2, taigi skaičius 5236 dalijasi iš 7.

6) Skaičius dalijasi iš 7 tik tada ir tik tada, kai trigubas dešimčių skaičius, pridėtas prie vienetų skaičiaus, dalijasi iš 7. Pavyzdžiui, 154 padalijamas iš 7, nes skaičius 49 iš 7, kurį gauname šis kriterijus: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Paskalio ženklas.

B. Paskalis (1623-1662), prancūzų matematikas ir fizikas, labai prisidėjo prie skaičių padalijimo ženklų tyrimo. Jis rado algoritmą, pagal kurį galima rasti bet kurio sveikojo skaičiaus dalijimosi bet kuriuo kitu sveiku skaičiumi požymius, kurį jis paskelbė traktate „Dėl skaičių padalijimo pobūdžio“. Beveik visi šiuo metu žinomi padalijimo kriterijai yra ypatingas Paskalio kriterijaus atvejis: „Jei likučių suma dalijant skaičiųa skaičiais pagal skaičiųv padalytąv , tada skaičiusa padalytąv ». Pravartu tai žinoti ir šiandien. Kaip galime įrodyti aukščiau suformuluotus dalinamumo kriterijus (pavyzdžiui, žinomą dalijimosi iš 7 kriterijų)? Pabandysiu atsakyti į šį klausimą. Bet pirmiausia sutarkime dėl skaičių rašymo būdo. Norėdami užrašyti skaičių, kurio numeriai pažymėti raidėmis, sutarkime nubrėžti liniją virš šių raidžių. Taigi abcdef žymės skaičių, kuris turi f vienetus, e dešimtis, d šimtus ir tt:

abcdef = a. 10 5 + b. 10 4 + c. 10 3 + d. 10 2 + e. 10 + f. Dabar aš įrodysiu aukščiau pateiktą dalijimosi iš 7 kriterijų. Turime:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(likučiai, padalyti iš 7).

Dėl to mes gauname penktąją taisyklę, suformuluotą aukščiau: Norėdami sužinoti likusią natūrinio skaičiaus padalijimo iš 7 dalį, turite pasirašyti koeficientus (padalijimo likučius) po šio skaičiaus skaitmenimis iš dešinės į kairę: tada turite padauginti kiekvieną skaitmenį iš žemiau esančio koeficiento ir pridėti gautus produktus; rasta suma turės tą pačią likusią dalį, padalytą iš 7, kaip ir paimtą skaičių.

Kaip pavyzdį paimkime skaičius 4591 ir 4907 ir, kaip nurodyta taisyklėje, rasime rezultatą:

-1 2 3 1

4 + 10 + 27 + 1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (6 dalis) (nėra tolygiai dalijamasi iš 7)

-1 2 3 1

4 + 18 + 0 + 7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (dalijasi iš 7)

Tokiu būdu padalijimo kriterijų galite rasti bet kokiu skaičiumi T. Jums tereikia rasti, kurie koeficientai (padalijimo likučiai) turėtų būti pasirašyti po paimto skaičiaus A skaitmenimis. Norėdami tai padaryti, turite pakeisti kiekvieną 10 10 galią, jei įmanoma, turėdami tą pačią likutį dalijant iš T, kaip skaičius 10. Už T= 3 arba t = 9, šie koeficientai pasirodė labai paprasti: jie visi yra lygūs 1. Todėl dalijimosi iš 3 ar 9 ženklas pasirodė labai paprastas. At T= 11 koeficientai taip pat nebuvo sudėtingi: jie pakaitomis lygus 1 ir - 1. Ir už t = 7 koeficientai pasirodė sudėtingesni; todėl dalijimosi iš 7 kriterijus pasirodė sudėtingesnis. Įvertinęs padalijimo iki 100 ženklus, buvau įsitikinęs, kad sudėtingiausi natūraliųjų skaičių koeficientai yra 23 (iš 10 23 koeficientai kartojami), 43 (nuo 10 39 koeficientai kartojami).

Visus išvardintus natūraliųjų skaičių padalijimo kriterijus galima suskirstyti į 4 grupes:

1 grupė- kai skaičių padalijimas nustatomas pagal paskutinį (-ius) skaitmenį (-ius), tai yra dalijimosi iš 2, 5, bitų vieneto, 4, 8, 25, 50 požymiai.

2 grupė- kai skaičių padalijimą lemia skaičiaus skaitmenų suma, tai yra dalijimosi iš 3, 9, 7, 37, 11 požymiai (1 ženklas).

3 grupė- kai skaičių padalijimas nustatomas atlikus tam tikrus veiksmus su skaičiaus skaitmenimis, tai yra dalijimosi iš 7, 11 (1 ženklas), 13, 19 požymiai.

4 grupė- kai skaičiaus padalijimui nustatyti naudojami kiti dalinamumo požymiai, tai yra dalijimosi iš 6, iš 15, iš 12, iš 14 požymiai.

eksperimentinė dalis

Apklausa

Apklausa buvo atlikta tarp 6, 7 klasių mokinių. Apklausoje dalyvavo 58 Baškirijos Respublikos Karaidelio rajono Karaidelio 1 -osios vidurinės mokyklos mokiniai. Jų buvo paprašyta atsakyti į šiuos klausimus:

Ar manote, kad yra kitų dalijimosi požymių, kurie skiriasi nuo pamokoje nagrinėtų?

Ar yra kitų natūraliųjų skaičių dalinamumo kriterijų?

Ar norėtumėte sužinoti šiuos padalijimo kriterijus?

Ar žinote kokių nors natūraliųjų skaičių padalijimo kriterijų?

Apklausos rezultatai parodė, kad 77% respondentų mano, kad yra ir kitų dalijimosi požymių, išskyrus tuos, kurie mokėsi mokykloje; 9% taip nemano, 13% respondentų buvo sunku atsakyti. Antrasis klausimas "Ar norėtumėte sužinoti kitų natūraliųjų skaičių padalijimo kriterijus?" 33% atsakė teigiamai, 17% respondentų atsakė „Ne“ ir jiems buvo sunku atsakyti - 50%. Į trečiąjį klausimą 100% respondentų atsakė teigiamai. Į ketvirtąjį klausimą teigiamai atsakė 89%, atsakė "Ne" - 11% studentų, dalyvavusių apklausoje atliekant tiriamąjį darbą.

Išvada

Taigi darbo metu buvo išspręstos šios užduotys:

studijavo teorinę medžiagą šiuo klausimu;

be man žinomų ženklų 2, 3, 5, 9 ir 10, sužinojau, kad yra ir dalijimosi iš 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 ir tt požymių;

3) buvo ištirtas Paskalio kriterijus - universalus dalijimosi bet kokiu natūraliu skaičiumi kriterijus;

Dirbdamas su skirtingais šaltiniais, analizuodamas tiriamu klausimu rastą medžiagą, įsitikinau, kad yra dalijimosi iš kitų natūraliųjų skaičių požymių. Pavyzdžiui, 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, o tai patvirtino mano hipotezės apie kitų natūraliųjų skaičių padalijimo ženklų egzistavimą teisingumą. Taip pat sužinojau, kad egzistuoja visuotinis dalinamumo kriterijus, kurio algoritmą rado prancūzų matematikas Pascalis Blaise'as ir paskelbė savo traktate „Dėl skaičių dalinamumo pobūdžio“. Naudodamiesi šiuo algoritmu, galite gauti dalinamumo kriterijų bet kuriam natūraliam skaičiui.

Tyrimo darbo rezultatas tapo susisteminta medžiaga lentelės „Skaičių dalinamumo ženklai“ pavidalu, kurią galima naudoti matematikos pamokose, popamokinėje veikloje, siekiant paruošti mokinius spręsti olimpiados uždavinius, ruošiant mokinius OGE ir vieningam valstybiniam egzaminui.

Ateityje siūlau tęsti darbą, kad sprendžiant problemas būtų taikomi skaičių padalijimo ženklai.

Naudotų šaltinių sąrašas

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika. 6 klasė: vadovėlis. bendram ugdymui. įstaigos / - 25 -asis leidimas, ištrintas. - M .: Mnemozina, 2009.- 288 p.

Vorobjevas V. N. Padalijimo požymiai.-M .: Nauka, 1988.-96p.

Vygodskis M. Ja. Pradinės matematikos vadovas. - Elista.: Dzhangar, 1995.- 416 p.

Gardner M. Matematinis laisvalaikis. / Pagal. Ed. Taip A. Smorodinskis. - M.: Oniksas, 1995.- 496 psl.

Gelfmanas E. G., Beckas E. F. padalijimo atvejis ir kitos istorijos: matematikos vadovėlis 6 klasei. - Tomskas: Tomo leidykla. Un-ta, 1992.- 176 p.

Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika: Nr. medžiaga: knyga. studentams. - 2 -asis leidimas - M.: Švietimas, 1990. - 416 p.

Gusevas V. A., Orlovas A. I., Rosental A. V. 6-8 klasių matematikos popamokinis darbas. Maskva.: Švietimas, 1984–289 p.

Depmanas I. Ya., Vilenkinas N. Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. M.: Švietimas, 1989–97 m.

Kulaninas E. D. Matematika. Katalogas. -M.: EKSMO-Press, 1999–224 m.

Perelmanas Ya.I. Įdomi algebra. M.: „Triada-Litera“, 1994 m. -199 -ieji.

Tarasovas B.N. Paskalis. -M.: Mol. Sargyba, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ („Wikipedia“ - nemokama enciklopedija).

http://www.bymath.net (enciklopedija).

1 priedas

SKIRSTYMO ŽENKLŲ LENTELĖ

SKIRSTYMO ŽENKLAI skaičiai - paprasčiausi kriterijai (taisyklės), leidžiančios spręsti apie vienų natūraliųjų skaičių dalijimąsi (be liekanos) pagal kitus. Padalinamumo ženklai sumažina skaičių padalijimo klausimo sprendimą iki veiksmų mažais skaičiais, paprastai atliekamais galvoje.
Kadangi visuotinai priimtos skaičių sistemos pagrindas yra 10, paprasčiausi ir plačiausiai paplitę trijų tipų skaičių daliklių požymiai: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Pirmasis tipas yra dalijimosi kriterijai iš 10 k daliklių, norint suskaidyti bet kokį sveikąjį skaičių N bet kokiu 10 k sveikų skaičių dalikliu q, būtina ir pakanka, kad paskutinis N skaitmenų veidas (k skaitmenų pabaiga) dalijasi iš q . Visų pirma (k = 1, 2 ir 3) mes gauname šiuos kriterijus, pagal kuriuos dalijamasi iš skaičių 1 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) ir 10 3 = 1000 (I 3) :
Aš 1. Iš 2, 5 ir 10 - vieno skaitmens pabaiga (paskutinis skaitmuo) turi būti padalinta iš 2, 5 ir 10. Pavyzdžiui, skaičius 80 110 dalijasi iš 2, 5 ir 10, nes paskutinis skaitmuo 0 iš šio skaičiaus dalijasi iš 2, 5 ir dešimt; skaičius 37 835 dalijasi iš 5, bet nesidalija iš 2 ir 10, nes paskutinis šio skaičiaus 5 skaičius dalijasi iš 5, bet nesidalija iš 2 ir 10.

I 2. Dviejų skaitmenų skaičiaus pabaiga turi būti padalinta iš 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ir 100 atitinkamai iš 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ir 100. Pavyzdžiui, skaičius 7 840 700 dalijasi iš 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ir 100, nes šio skaičiaus dviženklis galas 00 dalijasi iš 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ir 100; skaičius 10 831 750 dalijasi iš 2, 5, 10, 25 ir 50, bet nesidalija iš 4, 20 ir 100, nes šio skaičiaus dviženklis galas 50 dalijasi iš 2, 5, 10, 25 ir 50 , bet nesidalija iš 4, 20 ir 100.

Aš 3. Iš 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 ir 1000 - trijų skaitmenų skaičiaus pabaiga turi būti padalinta iš 2,4,5,8 , Atitinkamai 10,20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 ir 1000. Pavyzdžiui, skaičius 675 081 000 yra padalintas iš visų šiame atribute išvardytų skaičių, nes trijų skaitmenų pabaiga 000 duoto skaičiaus yra padalintas iš kiekvieno iš jų; Skaičius 51 184 032 dalijasi iš 2, 4 ir 8 ir nesidalija iš likusių, nes tam tikro skaičiaus trijų skaitmenų galas 032 dalijasi tik iš 2, 4 ir 8 ir nesidalija iš kitų.

Antrasis tipas yra dalijimosi kriterijai pagal daliklius 10 k - 1: kad bet koks sveikasis skaičius N būtų dalijamas iš bet kurio sveikojo skaičiaus daliklio q iš 10 k - 1, būtina ir pakanka, kad N skaitmenų veidų suma būtų dalijama iš q. Visų pirma (jei k = 1, 2 ir 3) mes gauname šiuos kriterijus, pagal kuriuos dalijamasi iš skaičių 1 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) ir 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1. Skaičiaus skaitmenų (vieno skaitmenų veidų) suma turi būti padalyta iš 3 ir 9 atitinkamai iš 3 ir 9. Pavyzdžiui, skaičius 510 887 250 dalijasi iš 3 ir 9, nes skaitmenų suma yra 5 + 1 + 0 + 8 + 8 + 7 + 2 + 5 + 0 = 36 (ir 3 + 6 = 9) šis skaičius dalijasi iš 3 ir 9; skaičius 4 712 586 dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 9, nes šio skaičiaus 4 + 7 + 1 + 2 + 5 + 8 + 6 = 33 (ir 3 + 3 = 6) suma dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 9.

II 2. Iš 3, 9, 11, 33 ir 99 - skaičiaus dvimatių veidų suma turi būti atitinkamai padalinta iš 3, 9, 11, 33 ir 99. Pavyzdžiui, skaičius 396 198 297 dalijasi iš 3 , 9, 11, 33 ir 99, nes suma, susidedanti iš dviejų skaitmenų 3 + 96 + 19 + + 82 + 97 = 297 (ir 2 + 97 = 99), dalijasi iš 3, 9, 11, 33 ir 99; skaičius 7 265 286 303 dalijasi iš 3, 11 ir 33, bet nesidalija iš 9 ir 99, nes dviejų skaitmenų veidų 72 + 65 + 28 + 63 + 03 suma yra 231 (ir 2 + 31 = 33 ) šio skaičiaus dalijasi iš 3, 11 ir 33 ir nesidalija iš 9 ir 99.

II 3. Iš 3, 9, 27, 37, 111, 333 ir 999 - skaičiaus trijų skaitmenų veidų suma turi būti atitinkamai padalinta iš 3, 9, 27, 37, 111, 333 ir 999. Pavyzdžiui, Skaičius 354 645 871 128 dalijamas iš visų, išvardytų šiame skaičiaus ženkle, nes šio skaičiaus trijų skaitmenų veidų suma 354 + 645 + +871 + 128 = 1998 (ir 1 + 998 = 999) yra padalinta į kiekvieną jų.

Trečiasis tipas yra dalijimosi 10 k + 1 dalikliais požymiai: norint padalinti bet kokį sveikąjį skaičių N bet kokiu 10 k + 1 sveikų skaičių dalikliu q, būtina ir pakanka, kad skirtumas tarp k skaitmenų veidų sumos N lygiose vietose, o k-skaitmenų veidų suma nelyginėse N vietose buvo padalinta iš q. Visų pirma (k = 1, 2 ir 3) mes gauname šiuos kriterijus, pagal kuriuos dalijamasi iš skaičių 10 1 + 1 = 11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) ir 10 3 +1 = 1001 (III 3).

III 1. Iš 11-skirtumas tarp skaitmenų sumos (vieno skaitmens veidų) lygiose vietose ir skaitmenų (vienaženklių veidų) sumos nelyginėse vietose turėtų būti dalijamas iš 11. Pavyzdžiui, skaičius 876 583 598 dalijasi iš 11, nes skirtumas 8 yra 7 + 6 - 5 + 8 - 3 + 5 - 9 + 8 = 11 (ir 1 - 1 = 0) tarp lyginių vietų skaitmenų sumos ir skaitmenų sumos nelyginės vietos yra padalintos iš 11.

III 2. Iki 101-skirtumas tarp dviženklių veidų sumos lygiose vietose ir dviejų skaitmenų veidų sumos nelyginėse vietose turėtų būti padalintas iš 101. Pavyzdžiui, skaičius 8 130 197 dalijasi iš 101, nes skirtumas yra 8-13 + 01- 97 = 101 (ir 1-01 = 0) tarp dviženklių veidų sumos, lygios šio skaičiaus vietose, ir dviejų skaitmenų veidų, esančių nelyginėse vietose, sumos, padalyta iš 101.

III 3. 7, 11, 13, 77, 91, 143 ir 1001-skirtumas tarp trijų skaitmenų veidų sumos lygiose vietose ir trijų skaitmenų veidų sumos nelyginėse vietose turėtų būti padalintas iš 7, 11, 13, 77 atitinkamai 91, 143 ir 1001. Pavyzdžiui, skaičius 539 693 385 dalijasi iš 7, 11 ir 77, bet nesidalija iš 13, 91, 143 ir 1001, nes 539 - 693 + 385 = 231 dalijasi iš 7 , 11 ir 77, o ne dalijasi iš 13, 91, 143 ir 1001.